Найти ошибку в вычислениях в номере 2
Конечно, давайте разберём задачу:
Задача. Найти ошибку в вычислениях в номере 2:
Дан следующий расчёт:
\[ \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 2^2\right) = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \]
Проверим правильность каждого шага:
Записанный интеграл: \[ \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx \]
Найдём первообразную функции \(x^2 - 2x\):
\[ \int (x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C \]
Подставим пределы интегрирования:
Используем основную теорему интегрального исчисления:
\[ \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 2^2\right) \]
Вычислим значения:
Для \(x = 3\):
\[ \frac{3^3}{3} - 3^2 = \frac{27}{3} - 9 = 9 - 9 = 0 \]
Для \(x = 2\):
\[ \frac{2^3}{3} - 2^2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3} \]
Разница этих значений:
\[ 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \]
Ошибка в расчётах:
Ошибка в вычислении второго значения и последующей разнице. Правильным ответом должно быть \(\frac{4}{3}\), а не \(\frac{20}{3}\).
