Ответ
Для решения задач данного варианта начнем по порядку.
Задание 1. Вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования
\(\int (0,3x^4 - \frac{7x^3}{\sqrt[7]{x}} + 5x^2) \, dx\)
Для вычисления интеграла от многочлена, просто проинтегрируем каждый член:
\[ \int 0,3x^4 \, dx = \frac{0,3}{5}x^5 = 0,06x^5 \]
\[ \int -\frac{7x^3}{\sqrt[7]{x}} \, dx = \int -7x^{\frac{3}{1} - \frac{1}{7}} \, dx = \int -7x^{\frac{20}{7}} \, dx = -7 \cdot \frac{7}{27} x^{\frac{27}{7}} = -\frac{7}{27} x^{\frac{27}{7}} \]
\[ \int 5x^2 \, dx = \frac{5}{3}x^3 = \frac{5}{3}x^3 \]
Итоговый интеграл:
\[ 0,06x^5 - \frac{7}{27} x^{\frac{27}{7}} + \frac{5}{3}x^3 + C \]
\(\int \frac{12 + 7x}{\sqrt{x}} \, dx\)
Разделим числитель на знаменатель и проинтегрируем:
\[ \int \left( \frac{12}{\sqrt{x}} + \frac{7x}{\sqrt{x}} \right) \, dx = \int 12x^{-0.5} \, dx + \int 7x^{0.5} \, dx \]
\[ \int 12x^{-0.5} \, dx = 12 \cdot \frac{x^{0.5}}{0.5} = 24x^{0.5} \]
\[ \int 7x^{0.5} \, dx = 7 \cdot \frac{x^{1.5}}{1.5} = \frac{14}{3}x^{1.5} \]
Итоговый интеграл:
\[ 24x^{0.5} + \frac{14}{3}x^{1.5} + C \]
Задание 2. Вычислить интеграл методом замены переменной
\(\int \frac{x}{(3x + 1)^4} \, dx\)
Сделаем замену: \(u = 3x + 1\), тогда \(du = 3 \, dx\) или \(dx = \frac{du}{3}\).
\[ \int \frac{x}{u^4} \cdot \frac{du}{3} = \int \frac{u-1}{u^4} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \left( \frac{u-1}{u^4} \right) \, du \]
\[ = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{u^3} - \frac{1}{u^4} \right) \, du \]
\[ = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2u^2} + \frac{1}{3u^3} \right) = -\frac{1}{6u^2} + \frac{1}{9u^3} \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ -\frac{1}{6(3x+1)^2} + \frac{1}{9(3x+1)^3} + C \]
Примените аналогичный подход (замены переменной) к другим интегралам, исходя из логики и типа функции под интегралом.
Задание 3. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям
\(\int x \sin 5x \, dx\)
Применяем формулу интегрирования по частям: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).
Пусть \(u = x\), тогда \(du = dx\).
Пусть \(dv = \sin 5x \, dx\), тогда \(v = -\frac{1}{5} \cos 5x\).
\[ \int x \sin 5x \, dx = -\frac{1}{5} x \cos 5x + \int \frac{1}{5} \cos 5x \, dx \]
\[ = -\frac{1}{5} x \cos 5x + \frac{1}{25} \sin 5x + C \]
Для дальнейших задач аналогично применяйте методы интегрирования, такие как замена переменной или интегрирование по частям.
