Реши

Чтобы решить задачу и понять детали формы эллипса, начнем с уравнения \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), которое типично для эллипса, где \( a \) и \( b \) — полуоси. Давайте приведем ваше уравнение к этому формату:

1. Дано уравнение:

   \[ x^2 + 5y^2 = 15 \]

2. Приведем к стандартному виду уравнения эллипса:

   Разделим все уравнение на 15:

   \[ \frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{3} = 1 \]

   Теперь видно, что \( a^2 = 15 \) и \( b^2 = 3 \), следовательно:

   \[ a = \sqrt{15}, \quad b = \sqrt{3} \]

3. Определим директрисы:

   Обе директрисы для эллипса находятся на расстоянии \( \frac{a^2}{c} \) от центра по главной оси, где \( c \) — это фокусное расстояние, и \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \).

   \[ c = \sqrt{15 - 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

   Директрисы будут на расстоянии \( \frac{15}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) от центра по оси \( x \).

4. Фокусы \( F_1 \) и \( F_2 \):

   Фокусы находятся на расстоянии \( c \) от центра по оси \( x \), то есть \( (2\sqrt{3}, 0) \) и \( (-2\sqrt{3}, 0) \).

5. Вершины \( A, B \):

   Вершинами эллипса будут точки на концах больших и малых осей:

   • По оси \( x \): \( (\sqrt{15}, 0) \) и \( (-\sqrt{15}, 0) \)
   • По оси \( y \): \( (0, \sqrt{3}) \) и \( (0, -\sqrt{3}) \)

Таким образом, эллипс можно изобразить в канонической системе координат, отметив фокусы, директрисы и вершины согласно вычисленным значениям.