Реши
Для решения задачи необходимо понимать, что происходит поверхность вращения. Дано уравнение
\[ \frac{x^2}{4} - \frac{z^2}{9} = 1 \]
при \(y = 0\). Это уравнение гиперболы в плоскости \(xz\).
а) Вращение вокруг оси \(Ox\):
Понимание задачи: При вращении гиперболы вокруг оси \(Ox\) в пространстве получается гиперболический цилиндр. Поскольку \(y = 0\), вращение даст трехмерную поверхность.
Уравнение: Обращаем внимание, что радиус вращения происходит за счет изменения координаты \(y\). Уравнение будет распространяться вдоль оси \(y\):
\[ \frac{x^2}{4} - \frac{z^2}{9} = 1 \]
которое будет сохраняться независимо от значения \(y\), т.е. получаем цилиндрическую форму, натянутую вдоль оси \(y\).
б) Вращение вокруг оси \(Oz\):
Понимание задачи: В этом случае вращение гиперболы вокруг оси \(Oz\) создаст гиперболоид вращения.
Уравнение: Подставляем третью координату \(y\) в уравнение. Используем симметрию относительно \(Oz\):
\[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{9} = 1 \]
Таким образом, получаем уравнение гиперболоида однополостного, так как содержит сумму квадратов при \(x\) и \(y\) и разность при \(z\).
Это решение показывает, как меняется уравнение поверхности в зависимости от оси вращения.
