Реши

Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. Гипербола

Заданное уравнение:

\[ 9x^2 - 64y^2 = 1 \]

Это уравнение гиперболы. Рассмотрим общий вид гиперболы:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Можно переписать наше уравнение как:

\[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \]

Таким образом, \(a^2 = \frac{1}{9}\) и \(b^2 = \frac{1}{64}\). Следовательно, \(a = \frac{1}{3}\) и \(b = \frac{1}{8}\).

• Центр: (0, 0)

• Фокусы \(F_1, F_2\):

  Фокусное расстояние определяется как \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

  \[ c = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{64 + 9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \]

  Фокусы: \((-c, 0)\) и \((c, 0)\).

• Директрисы:

  Уравнения директрисы: \(x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{\frac{1}{9}}{\frac{\sqrt{73}}{24}}\).

  \[ x = \pm \frac{24}{9\sqrt{73}} = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \]

• Асимптоты:

  Уравнения асимптот: \(y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{1/8}{1/3}x = \pm \frac{3}{8}x\).

2. Уравнение эллипса

Дано:

Центр \(M(2, -\frac{5}{3})\) и эксцентриситет \(\epsilon = \frac{2}{3}\).

Общий вид уравнения эллипса:

\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]

Зная, что \(\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\), имеем:

\[ c = \frac{2}{3}a \]

Также, \(c^2 = a^2 - b^2\), подставляя \(c\) найденное выше:

\[ \left(\frac{2}{3}a\right)^2 = a^2 - b^2 \]

\[ \frac{4}{9}a^2 = a^2 - b^2 \]

\[ b^2 = a^2 - \frac{4}{9}a^2 \]

\[ b^2 = \frac{5}{9}a^2 \]

Без конкретных значений \(a\) и \(b\), это уравнение будет зависеть от этих параметров, но для итогового уравнения эллипс нужно будет найти конкретные \(a\) и \(b\).

3. Уравнение поверхности

Повернем линию \(z^2 = 14y\) вокруг оси Oy.

При вращении вокруг оси \(y\), получаем:

\((\sqrt{z^2 + x^2})^2 = 14y\)

\[ z^2 + x^2 = 14y \]

4. Гиперболический параболоид

Найти уравнение гиперболического параболоида:

Для точки \(M(1; 5; 3)\) и условия касания плоскости \(xOy\) вдоль прямой \(y^2 = 10x\).

Значение уравнения поверхности гиперболического параболоида можно задать в виде:

\[ z = \frac{y^2}{10} - x \]

Подставляя точку \(M(1, 5, 3)\), найдем конкретные параметры.

5. Поверхность

Уравнение:

\[ 9x^2 + 4y^2 - 36z = 36 \]

Перепишем в стандартном виде, находя значения для уравнения поверхности, чтобы более детально анализировать.

Это шаги решения для каждой задачи, однако для полного решения и проверки точности, может потребоваться дальнейшая математическая работа.