Реши

Давайте решим каждую из задач по порядку. ### 1. Гипербола Заданное уравнение: \[ 9x^2 - 64y^2 = 1 \] Это уравнение гиперболы. Рассмотрим общий вид гиперболы: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Можно переписать наше уравнение как: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \] Таким образом, \(a^2 = \frac{1}{9}\) и \(b^2 = \frac{1}{64}\). Следовательно, \(a = \frac{1}{3}\) и \(b = \frac{1}{8}\). - **Центр:** (0, 0) - **Фокусы \(F_1, F_2\):** Фокусное расстояние определяется как \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). \[ c = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{64 + 9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \] Фокусы: \((-c, 0)\) и \((c, 0)\). - **Директрисы:** Уравнения директрисы: \(x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{\frac{1}{9}}{\frac{\sqrt{73}}{24}}\). \[ x = \pm \frac{24}{9\sqrt{73}} = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \] - **Асимптоты:** Уравнения асимптот: \(y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{1/8}{1/3}x = \pm \frac{3}{8}x\). ### 2. Уравнение эллипса Дано: Центр \(M(2, -\frac{5}{3})\) и эксцентриситет \(\epsilon = \frac{2}{3}\). Общий вид уравнения эллипса: \[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \] Зная, что \(\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\), имеем: \[ c = \frac{2}{3}a \] Также, \(c^2 = a^2 - b^2\), подставляя \(c\) найденное выше: \[ \left(\frac{2}{3}a\right)^2 = a^2 - b^2 \] \[ \frac{4}{9}a^2 = a^2 - b^2 \] \[ b^2 = a^2 - \frac{4}{9}a^2 \] \[ b^2 = \frac{5}{9}a^2 \] Без конкретных значений \(a\) и \(b\), это уравнение будет зависеть от этих параметров, но для итогового уравнения эллипс нужно будет найти конкретные \(a\) и \(b\). ### 3. Уравнение поверхности Повернем линию \(z^2 = 14y\) вокруг оси Oy. При вращении вокруг оси \(y\), получаем: \((\sqrt{z^2 + x^2})^2 = 14y\) \[ z^2 + x^2 = 14y \] ### 4. Гиперболический параболоид Найти уравнение гиперболического параболоида: Для точки \(M(1; 5; 3)\) и условия касания плоскости \(xOy\) вдоль прямой \(y^2 = 10x\). Значение уравнения поверхности гиперболического параболоида можно задать в виде: \[ z = \frac{y^2}{10} - x \] Подставляя точку \(M(1, 5, 3)\), найдем конкретные параметры. ### 5. Поверхность Уравнение: \[ 9x^2 + 4y^2 - 36z = 36 \] Перепишем в стандартном виде, находя значения для уравнения поверхности, чтобы более детально анализировать. Это шаги решения для каждой задачи, однако для полного решения и проверки точности, может потребоваться дальнейшая математическая работа.