Реши

Для решения задачи о гиперболе, заданной уравнением: \[ 9x^2 - 64y^2 = 1 \] следуем шагам: 1. **Приведение к стандартному виду:** Уравнение гиперболы стандартного вида: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Сравним его с данным уравнением: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \] Мы видим, что: \[ a^2 = \frac{1}{9} \rightarrow a = \frac{1}{3}, \quad b^2 = \frac{1}{64} \rightarrow b = \frac{1}{8} \] 2. **Эксцентриситет:** Для гиперболы \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \): \[ c = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{64}{576} + \frac{9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \] Эксцентриситет \( e \) равен: \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{73}}{24}}{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{73}}{8} \] 3. **Фокусы:** Фокусы находятся на оси \( x \) на расстоянии \( c \) от начала координат: \[ F_1(-c, 0) = \left(-\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right), \quad F_2(c, 0) = \left(\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \] 4. **Асимптоты:** Уравнения асимптот для этой гиперболы: \[ y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}} x = \pm \frac{3}{8} x \] 5. **Директрисы:** Уравнения директрис: \[ x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{73}}{8}} = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \] 6. **Вершины:** Вершины гиперболы находятся по оси \( x \) на расстоянии \( a \) от центра: \[ A_1(-a, 0) = \left(-\frac{1}{3}, 0\right), \quad A_2(a, 0) = \left(\frac{1}{3}, 0\right) \] Таким образом, параметры гиперболы следующие: - \( a = \frac{1}{3} \) - \( b = \frac{1}{8} \) - \( c = \frac{\sqrt{73}}{24} \) - Фокусы: \( F_1 = \left(-\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right), F_2 = \left(\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \) - Асимптоты: \( y = \pm \frac{3}{8} x \) - Директрисы: \( x = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \) - Вершины: \( \left(-\frac{1}{3}, 0\right), \left(\frac{1}{3}, 0\right) \)