Реши
Для решения задачи о гиперболе, заданной уравнением:
\[ 9x^2 - 64y^2 = 1 \]
следуем шагам:
Приведение к стандартному виду:
Уравнение гиперболы стандартного вида:
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Сравним его с данным уравнением:
\[ \frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{\frac{1}{64}} = 1 \]
Мы видим, что:
\[ a^2 = \frac{1}{9} \rightarrow a = \frac{1}{3}, \quad b^2 = \frac{1}{64} \rightarrow b = \frac{1}{8} \]
Эксцентриситет:
Для гиперболы \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \):
\[ c = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{64}{576} + \frac{9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \]
Эксцентриситет \( e \) равен:
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\frac{\sqrt{73}}{24}}{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{73}}{8} \]
Фокусы:
Фокусы находятся на оси \( x \) на расстоянии \( c \) от начала координат:
\[ F_1(-c, 0) = \left(-\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right), \quad F_2(c, 0) = \left(\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \]
Асимптоты:
Уравнения асимптот для этой гиперболы:
\[ y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}} x = \pm \frac{3}{8} x \]
Директрисы:
Уравнения директрис:
\[ x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{73}}{8}} = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \]
Вершины:
Вершины гиперболы находятся по оси \( x \) на расстоянии \( a \) от центра:
\[ A_1(-a, 0) = \left(-\frac{1}{3}, 0\right), \quad A_2(a, 0) = \left(\frac{1}{3}, 0\right) \]
Таким образом, параметры гиперболы следующие:
- \( a = \frac{1}{3} \)
- \( b = \frac{1}{8} \)
- \( c = \frac{\sqrt{73}}{24} \)
- Фокусы: \( F_1 = \left(-\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right), F_2 = \left(\frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \)
- Асимптоты: \( y = \pm \frac{3}{8} x \)
- Директрисы: \( x = \pm \frac{8}{3\sqrt{73}} \)
- Вершины: \( \left(-\frac{1}{3}, 0\right), \left(\frac{1}{3}, 0\right) \)
