25^2х -5^х -1≤0

Дано неравенство: \(25^{2x} - 5^x - 1 \leq 0\).

Для начала заметим, что \(25 = 5^2\), поэтому можно переписать неравенство следующим образом: \((5^2)^{2x} - 5^x - 1 \leq 0\).

Далее заметим, что \(a^{mn} = (a^m)^n\), что позволяет преобразовать левую часть неравенства: \((5^2)^{2x} - 5^x - 1 = 5^{4x} - 5^x -1\).

Теперь осталось преобразовать выражение: \(5^{4x} - 5^x -1 \leq 0\).

Для удобства введем замену: Пусть \(y = 5^x\), тогда неравенство примет вид: \(y^4 - y -1 \leq 0\).

Теперь найдем корни уравнения \(y^4 - y -1 = 0\).

Данное уравнение не имеет рациональных корней, однако его график показывает, что у этого уравнения есть один вещественный корень между 1 и 2. Этот корень можно найти численным методом или исследованием графика функции \(y^4 - y -1\).

Таким образом, решение неравенства \(25^{2x} -5^x -1 \leq 0\) удовлетворяет условиям: \[1 \leq 5^x \leq \text{корень}(y^4 - y -1)\]

После нахождения корня уравнения \(y^4 - y -1 = 0\) можно найти значения х, удовлетворяющие указанным условиям.