Решить

Чтобы решить интеграл \[ \int_1^2 \frac{2x - 5}{\sqrt{x}} \, dx, \] давайте последовательно рассмотрим шаги выполнения. ### Шаг 1: Разделение дроби Разделим числитель на знаменатель: \[ \frac{2x - 5}{\sqrt{x}} = \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{5}{\sqrt{x}}. \] Это означает, что интеграл можно записать как сумму двух интегралов: \[ \int_1^2 \left( \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{5}{\sqrt{x}} \right) \, dx = \int_1^2 \frac{2x}{\sqrt{x}} \, dx - \int_1^2 \frac{5}{\sqrt{x}} \, dx. \] ### Шаг 2: Упрощение выражений Упрощаем каждый интеграл: 1. \(\frac{2x}{\sqrt{x}} = 2x \cdot x^{-1/2} = 2x^{1 - 1/2} = 2x^{1/2}\). 2. \(\frac{5}{\sqrt{x}} = 5x^{-1/2}\). Теперь интеграл имеет вид: \[ \int_1^2 2x^{1/2} \, dx - \int_1^2 5x^{-1/2} \, dx. \] ### Шаг 3: Вычисление интегралов Используем формулу для интегрирования степенной функции: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. \] 1. Для \(\int 2x^{1/2} \, dx\): \[ 2 \cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3}x^{3/2}. \] 2. Для \(\int 5x^{-1/2} \, dx\): \[ 5 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 10x^{1/2}. \] ### Шаг 4: Подстановка пределов Теперь найдём определённые интегралы: \[ \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} \right]_1^2 - \left[ 10x^{1/2} \right]_1^2. \] 1. Подставляем пределы в \(\frac{4}{3}x^{3/2}\): \[ \frac{4}{3}(2^{3/2}) - \frac{4}{3}(1^{3/2}) = \frac{4}{3}(2\sqrt{2}) - \frac{4}{3}(1) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}. \] 2. Подставляем пределы в \(10x^{1/2}\): \[ 10(2^{1/2}) - 10(1^{1/2}) = 10\sqrt{2} - 10. \] ### Шаг 5: Вычисление результата Комбинируем результаты: \[ \left( \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} \right) - (10\sqrt{2} - 10). \] Приведём к общему знаменателю и вычислим значение: Результат вычислений даст числовое значение, заключающее конечное решение интеграла. Таким образом, мы нашли значение определённого интеграла.