Решить
Чтобы решить интеграл
\[ \int_1^2 \frac{2x - 5}{\sqrt{x}} \, dx, \]
давайте последовательно рассмотрим шаги выполнения.
Шаг 1: Разделение дроби
Разделим числитель на знаменатель:
\[ \frac{2x - 5}{\sqrt{x}} = \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{5}{\sqrt{x}}. \]
Это означает, что интеграл можно записать как сумму двух интегралов:
\[ \int_1^2 \left( \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{5}{\sqrt{x}} \right) \, dx = \int_1^2 \frac{2x}{\sqrt{x}} \, dx - \int_1^2 \frac{5}{\sqrt{x}} \, dx. \]
Шаг 2: Упрощение выражений
Упрощаем каждый интеграл:
\(\frac{2x}{\sqrt{x}} = 2x \cdot x^{-1/2} = 2x^{1 - 1/2} = 2x^{1/2}\).
\(\frac{5}{\sqrt{x}} = 5x^{-1/2}\).
Теперь интеграл имеет вид:
\[ \int_1^2 2x^{1/2} \, dx - \int_1^2 5x^{-1/2} \, dx. \]
Шаг 3: Вычисление интегралов
Используем формулу для интегрирования степенной функции:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. \]
- Для \(\int 2x^{1/2} \, dx\):
\[ 2 \cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3}x^{3/2}. \]
- Для \(\int 5x^{-1/2} \, dx\):
\[ 5 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 10x^{1/2}. \]
Шаг 4: Подстановка пределов
Теперь найдём определённые интегралы:
\[ \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} \right]_1^2 - \left[ 10x^{1/2} \right]_1^2. \]
- Подставляем пределы в \(\frac{4}{3}x^{3/2}\):
\[ \frac{4}{3}(2^{3/2}) - \frac{4}{3}(1^{3/2}) = \frac{4}{3}(2\sqrt{2}) - \frac{4}{3}(1) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}. \]
- Подставляем пределы в \(10x^{1/2}\):
\[ 10(2^{1/2}) - 10(1^{1/2}) = 10\sqrt{2} - 10. \]
Шаг 5: Вычисление результата
Комбинируем результаты:
\[ \left( \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} \right) - (10\sqrt{2} - 10). \]
Приведём к общему знаменателю и вычислим значение:
Результат вычислений даст числовое значение, заключающее конечное решение интеграла.
Таким образом, мы нашли значение определённого интеграла.
