решите неравенство методом интервалов (x+7)(9x^2-12x+4)/(8x^2+2x-1)<=0

Дано неравенство:

\[ \frac{(x+7)(9x^2 - 12x + 4)}{8x^2 + 2x - 1} \leq 0 \]

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем все точки разрыва функции.
   Нулевые значения знаменателя не подходят и будут являться точками разрыва.
   Решим уравнение в знаменателе и получим точки разрыва: \[ 8x^2 + 2x - 1 = 0 \]

   Решаем квадратное уравнение при помощи дискриминанта:
   Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где в нашем случае:
   \(a = 8\), \(b = 2\), \(c = -1\).
   \(D = 2^2 - 4*8*(-1) = 4 + 32 = 36\).
   Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня:
   \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2*8} = \frac{-2 \pm 6}{16}\)
   \(x_1 = \frac{2-6}{16} = -\frac{1}{4}\)
   \(x_2 = \frac{2+6}{16} = \frac{1}{2}\)

   Точки разрыва: \(x = -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\)

2. Построение знаковой таблицы.
   Разобьем числовую прямую на интервалы, используя точки из пункта 1. В каждом интервале определим знак выражения \((x + 7)(9x^2 - 12x + 4)\) и \(8x^2 + 2x - 1\).

   Интервал	\((x + 7)(9x^2 - 12x + 4)\)	\(8x^2 + 2x - 1\)
   \((-∞, -\frac{1}{4})\)	-	-
   \((-1/4, 1/2)\)	+	-
   \((1/2, +∞)\)	+	+

3. Определение решения неравенства.

   • Отрицательное произведение (\(≤ 0\)) означает, что одно из чисел отрицательное, а другое положительное.
   • Смотрим на знаки в таблице:
     В интервале \((-∞, -\frac{1}{4})\) - оба выражения отрицательные \((-)(-)\) не подходит.
     В интервале \((-1/4, 1/2)\) - первое выражение положительное, второе отрицательное \(+(−)\) подходит.
     В интервале \((1/2, +∞)\) - оба выражения положительные \((+)(+)\) не подходит.

4. Ответ.
   Решение неравенства: \(-\frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{2}\)

Таким образом, интервал, удовлетворяющий неравенству, это \(-\frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{2}\).