Решите неравенство методом интервалов (x+7)(9x^2-12x+4)/(8x^2+2x-1)<=0

Дано неравенство: \[ \frac{(x+7)(9x^2 - 12x + 4)}{8x^2 + 2x - 1} \leq 0 \] Чтобы решить это неравенство методом интервалов, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найдем все точки разрыва функции. Нулевые значения знаменателя не подходят и будут являться точками разрыва. Решим уравнение в знаменателе и получим точки разрыва: \[ 8x^2 + 2x - 1 = 0 \] Решаем квадратное уравнение при помощи дискриминанта: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где в нашем случае: \(a = 8\), \(b = 2\), \(c = -1\). \(D = 2^2 - 4*8*(-1) = 4 + 32 = 36\). Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2*8} = \frac{-2 \pm 6}{16}\) \(x_1 = \frac{2-6}{16} = -\frac{1}{4}\) \(x_2 = \frac{2+6}{16} = \frac{1}{2}\) Точки разрыва: \(x = -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\) 2. Построение знаковой таблицы. Разобьем числовую прямую на интервалы, используя точки из пункта 1. В каждом интервале определим знак выражения \((x + 7)(9x^2 - 12x + 4)\) и \(8x^2 + 2x - 1\). | Интервал | \((x + 7)(9x^2 - 12x + 4)\) | \(8x^2 + 2x - 1\) | |-----------------|-----------------------------|-------------------| | \((-∞, -\frac{1}{4})\) | - | - | | \((-1/4, 1/2)\) | + | - | | \((1/2, +∞)\) | + | + | 3. Определение решения неравенства. - Отрицательное произведение (\(≤ 0\)) означает, что одно из чисел отрицательное, а другое положительное. - Смотрим на знаки в таблице: В интервале \((-∞, -\frac{1}{4})\) - оба выражения отрицательные \((-)(-)\) не подходит. В интервале \((-1/4, 1/2)\) - первое выражение положительное, второе отрицательное \(+(−)\) подходит. В интервале \((1/2, +∞)\) - оба выражения положительные \((+)(+)\) не подходит. 4. Ответ. Решение неравенства: \(-\frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{2}\) Таким образом, интервал, удовлетворяющий неравенству, это \(-\frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{2}\).