В гараж поступили 24 новые машины, из которых 10 легковых, а остальные грузовые. Четырем водителям необходимо выделить по машине. Какова вероятность, что три водителя получат по грузовой машине, а четвертый – легковую?

Для решения данной задачи воспользуемся принципом комбинаторики и вероятности. У нас есть 24 машины, из которых 10 легковых и 14 грузовых. Четырем водителям необходимо выделить машины. 1. Найдем общее количество способов выделить по машине для каждого водителя: - Для первого водителя выбираем 3 грузовые машины из 14: \( C_{14}^3 \) - Для второго водителя выбираем также 3 грузовые машины из оставшихся 11 (после первого выбранного): \( C_{11}^3 \) - Для третьего водителя так же выбираем 3 грузовые машины из оставшихся 8: \( C_8^3 \) - Для четвертого водителя выбираем 1 легковую машину из 10: \( C_{10}^1 \) 2. Найдем общее количество способов выдать машины для каждого водителя: - Для каждого водителя есть общее количество машин для выбора: \( C_{24}^4 \) 3. Теперь найдем вероятность того, что три водителя получат по грузовой машине, а четвертый – легковую: \[ P = \frac{{C_{14}^3 \cdot C_{11}^3 \cdot C_8^3 \cdot C_{10}^1}}{{C_{24}^4}} \] Вычислим числитель: - \( C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = 364 \) - \( C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = 165 \) - \( C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56 \) - \( C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10 \) Подставим значения: - \( P = \frac{{364 \cdot 165 \cdot 56 \cdot 10}}{{C_{24}^4}} \) - \( P = \frac{{364 \cdot 165 \cdot 56 \cdot 10}}{{\frac{24!}{4!(24-4)!}}} \) - \( P = \frac{{364 \cdot 165 \cdot 56 \cdot 10}}{{\frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4!}}} \) - \( P = \frac{{364 \cdot 165 \cdot 56 \cdot 10 \cdot 4!}}{{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \) После вычислений получится значение вероятности.