Решить задачу

Для решения задачи используем теорему полной вероятности и формулу Байеса.

Дано:

• Вероятность попадания при стрельбе из пристрелянного пистолета \( P(A) = 0.9 \).
• Вероятность попадания при стрельбе из непристрелянного пистолета \( P(B) = 0.2 \).
• Из 10 пистолетов на столе 4 пристрелянные и 6 непристрелянных.

Обозначим:

• Событие \( C \) — Джон попадает в муху.

Найти: Вероятность того, что Джон стрелял из пристрелянного пистолета, если он попал в муху, то есть \( P(Пристрелянный \, | \, C) \).

Решение:

1. Вероятности выбора пистолета:

   • Вероятность взять пристрелянный пистолет \( P(Пристрелянный) = \frac{4}{10} = 0.4 \).
   • Вероятность взять непристрелянный пистолет \( P(Непристрелянный) = \frac{6}{10} = 0.6 \).

2. Вероятности попадания:

   • Вероятность попасть при условии, что выбран пристрелянный пистолет: \[ P(C \, | \, Пристрелянный) = P(A) = 0.9 \]
   • Вероятность попасть при условии, что выбран непристрелянный пистолет: \[ P(C \, | \, Непристрелянный) = P(B) = 0.2 \]

3. Полная вероятность попадания в муху: \[ P(C) = P(C \, | \, Пристрелянный) \cdot P(Пристрелянный) + P(C \, | \, Непристрелянный) \cdot P(Непристрелянный) \] \[ P(C) = 0.9 \times 0.4 + 0.2 \times 0.6 = 0.36 + 0.12 = 0.48 \]

4. Применяем формулу Байеса для нахождения \( P(Пристрелянный \, | \, C) \): \[ P(Пристрелянный \, | \, C) = \frac{P(C \, | \, Пристрелянный) \cdot P(Пристрелянный)}{P(C)} \] \[ P(Пристрелянный \, | \, C) = \frac{0.9 \times 0.4}{0.48} = \frac{0.36}{0.48} = 0.75 \]

Ответ: Вероятность того, что Джон стрелял из пристрелянного пистолета, если он попал в муху, составляет 0.75 или 75%.