В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла В, если DA = 12, а AC = 24. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Дано: Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в точке $C$, высота $CD$ проведена из вершины $C$. $DA = 12$, $AC = 24$. Чтобы найти величину угла $B$, используем свойство прямоугольного треугольника: высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Обозначим $BD$ как $x$, так как $CD$ является высотой, а $DA$ и $AC$ - катетами. Теперь можем составить уравнение: 1. Внутри треугольника $ACD$: $$x^2 + 12^2 = 24^2$$ $$x^2 = 24^2 - 12^2$$ $$x^2 = 576 - 144$$ $$x^2 = 432$$ $$x = \sqrt{432}$$ $$x = 2\sqrt{108}$$ $$x = 2\sqrt{36 \cdot 3}$$ $$x = 2 \cdot 6 \sqrt{3}$$ $$x = 12 \sqrt{3}$$ 2. Так как $BD = 12\sqrt{3}$, мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику $DBA$: $$12\sqrt{3}^2 + 12^2 = AB^2$$ $$(12\sqrt{3})^2 + 12^2 = AB^2$$ $$(12^2 \cdot 3) + 12^2 = AB^2$$ $$144 \cdot 3 + 144 = AB^2$$ $$432 + 144 = AB^2$$ $$AB^2 = 576$$ $$AB = \sqrt{576}$$ $$AB = 24$$ Теперь рассмотрим угол $B$ в треугольнике $ABC$. Поскольку $BD$ соответствует катету $AD$ и $AB$ - гипотенузе, угол $B$ является углом противоположным катету $AD$. Таким образом, угол $B$ в треугольнике $ABC$ равен $\angle ABD$. $$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$ $$B = \arcsin{\frac{1}{2}} = 30^\circ$$ Ответ: Угол $B$ в треугольнике $ABC$ равен $30^\circ$.