решить задачу

Давайте разберём каждую задачу по порядку:

Задача 21

Условие: На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная в точке \( x_0 \). Найдите значение производной функции \( g(x) = -2f(x) + 3 \), \( x_0 = -4\).

Решение: Функция \( g(x) = -2f(x) + 3 \) предполагает, что производная будет равна: \[ g'(x) = -2f'(x) \]

В точке \( x_0 = -4 \) наклон касательной дает значение производной \( f'(x_0) \).

1. Смотрим наклон касательной на графике в точке \( x_0 = -4 \). Из графика видно, что это наклон \( 1 \) (если график пересекает ось по единицам, то наклон будет равен изменению по \( y \)).
2. Подставляем в формулу \( g'(x) = -2f'(x) \): \[ g'(-4) = -2 \cdot 1 = -2 \]

Таким образом, значение производной функции \( g(x) \) в точке \( x_0 = -4 \) равно \(-2\).

Задача 22

Условие: На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная, проведённая в точке \( x_0 \). Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции \( g(x) = \frac{7}{f'(x)} + \frac{1}{441} \) в точке \( x_0 \).

Решение: Уравнение касательной: \( y = -3x - 5 \), что значит \( f'(x_0) = -3 \).

Формула функции: \[ g(x) = \frac{7}{f'(x)} + \frac{1}{441} \]

Подставляем известное значение \( f'(x_0) = -3 \): \[ f'(x_0) = -3 \implies g(x_0) = \frac{7}{-3} + \frac{1}{441} = -\frac{7}{3} + \frac{1}{441} \]

Для нахождения производной \( g'(x) \) использовать стандартную производную не требуется, так как она вычисляется в точке \( x_0 \), а мы ищем значение самой функции в данной точке.

Задача 23

Условие: На рисунке изображены график функции \( y = f(x) \) и касательная, проведённая в точке \( x_0 = 0 \). Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции \( g(x) = (f(x) - 1)^2 \) в точке \( x_0 \).

Решение: Уравнение касательной: \( y = -1.5x + 1 \), следовательно, \( f(0) = 1 \).

Функция: \[ g(x) = (f(x) - 1)^2 \]

Подставляем \( f(x_0) = f(0) = 1 \): \[ g(0) = (1 - 1)^2 = 0 \]

Таким образом, значение функции \( g(x) \) в точке \( x_0 = 0 \) равно \( 0 \).