х-2 _____ >0 3-х

Для того чтобы понять данное неравенство и найти значения \(\text{x}\), которые удовлетворяют этому неравенству, давайте проанализируем его шаг за шагом.

У нас дано неравенство: \(\frac{{\text{x} - 2}}{{3 - \text{x}}} > 0\).

Чтобы понять, когда дробь больше нуля (\(> 0\)), нужно рассмотреть три возможных случая:

1. Оба числителя и знаменатели положительны:

   • \(\text{x} - 2 > 0\) и \(3 - \text{x} > 0\).
   • Решая систему неравенств, получаем: \(\text{x} > 2\) и \(\text{x} < 3\), что означает \(2 < \text{x} < 3\).

2. Оба числителя и знаменатели отрицательны:

   • \(\text{x} - 2 < 0\) и \(3 - \text{x} < 0\).
   • Решая систему, получаем: \(\text{x} < 2\) и \(\text{x} > 3\). Но этот случай не подходит, так как нас интересует дробь, которая больше нуля.

3. Числитель и знаменатель имеют разные знаки:

   • Либо \(\text{x} - 2 < 0\) и \(3 - \text{x} > 0\).
   • Либо \(\text{x} - 2 > 0\) и \(3 - \text{x} < 0\).

Рассмотрим первый случай:

• \(\text{x} - 2 < 0\) и \(3 - \text{x} > 0\).
• Получаем: \(\text{x} < 2\) и \(\text{x} < 3\), что означает \(\text{x} < 2\).

Рассмотрим второй случай:

• \(\text{x} - 2 > 0\) и \(3 - \text{x} < 0\).
• Получаем: \(\text{x} > 2\) и \(\text{x} > 3\), что означает \(\text{x} > 3\).

Итак, все три случая вместе дают решение для данного неравенства: \(\text{x} < 2\) или \(2 < \text{x} < 3\).