Разложить на множители tg^4b-tg^6b/ctg^4b-ctg^2b

Для начала разложим числитель \( tg^4b - tg^6b \) и знаменатель \( ctg^4b - ctg^2b \) на множители. 1. Разложение числителя: \( tg^4b - tg^6b = tg^4b(1 - tg^2b) \). Теперь мы знаем, что \( tg^2b = \frac{sin^2b}{cos^2b} \). Подставим это в наше уравнение: \( tg^4b - tg^6b = tg^4b(1 - \frac{sin^2b}{cos^2b}) \). Далее можно представить \( (1 - \frac{sin^2b}{cos^2b}) \) в виде \( \frac{cos^2b - sin^2b}{cos^2b} \) по формуле разности квадратов, получая: \( tg^4b - tg^6b = tg^4b \cdot \frac{cos^2b - sin^2b}{cos^2b} \). Итак, числитель раскладывается на множители как \( tg^4b \cdot \frac{cos^2b - sin^2b}{cos^2b} \). 2. Разложение знаменателя: Аналогично \( ctg^4b - ctg^2b = ctg^2b(1 - ctg^2b) \). Здесь \( ctg^2b = \frac{cos^2b}{sin^2b} \). Подставив это, получаем: \( ctg^4b - ctg^2b = ctg^2b(1- \frac{cos^2b}{sin^2b}) \). И опять используем формулу разности квадратов: \( ctg^4b - ctg^2b = ctg^2b \cdot \frac{sin^2b - cos^2b}{sin^2b} \). Таким образом, знаменатель раскладывается на множители как \( ctg^2b \cdot \frac{sin^2b - cos^2b}{sin^2b} \). Теперь, подставим разложенные выражения для числителя и знаменателя обратно в исходное выражение \( \frac{tg^4b - tg^6b}{ctg^4b - ctg^2b} \): \( \frac{tg^4b \cdot \frac{cos^2b - sin^2b}{cos^2b}}{ctg^2b \cdot \frac{sin^2b - cos^2b}{sin^2b}} \). Далее можно упростить это выражение сокращением общих множителей в числителе и знаменателе, после чего получим окончательный результат.