Найдите первый член геометрической прогрессии (pn), если p3 = 4, p4 = -1.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии, нам необходимо использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[ p_n = p_1 \cdot r^{(n-1)} \]

где:

• \( p_n \) - n-й член прогрессии,
• \( p_1 \) - первый член прогрессии,
• \( r \) - знаменатель прогрессии,
• \( n \) - порядковый номер члена прогрессии.

Дано: \( p_3 = 4 \) и \( p_4 = -1 \).

Из данной информации можно получить два уравнения: \[ p_3 = p_1 \cdot r^{(3-1)} = p_1 \cdot r^2 = 4 \] \[ p_4 = p_1 \cdot r^{(4-1)} = p_1 \cdot r^3 = -1 \]

Разделим эти два уравнения, чтобы избавиться от первого члена прогрессии \( p_1 \): \[ \frac{p_3}{p_4} = \frac{p_1 \cdot r^2}{p_1 \cdot r^3} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{4}{-1} \] \[ \frac{1}{r} = -\frac{4}{1} \] \[ r = -4 \]

Теперь, используя полученное значение \( r = -4 \), можем найти первый член прогрессии \( p_1 \) из уравнения \( p_3 = p_1 \cdot r^2 = 4 \): \[ p_1 \cdot (-4)^2 = 4 \] \[ p_1 \cdot 16 = 4 \] \[ p_1 = \frac{4}{16} \] \[ p_1 = \frac{1}{4} \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен \( \frac{1}{4} \).