6x-x²>0

Дана неравенство: \( 6x - x^2 > 0 \).

Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения x, при которых данное выражение будет больше нуля.

1. Преобразуем неравенство, раскрыв скобки:

\[ 6x - x^2 > 0 \]

\[ -x^2 + 6x > 0 \]

2. Перенесём все члены на одну сторону неравенства, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 6x = 0 \]

3. Теперь найдём корни этого уравнения, положим \( -x^2 + 6x = 0 \):

\[ x(-x + 6) = 0 \]

Из этого уравнения получаем два возможных значений x: x = 0 и x = 6.

Таким образом, у нас есть две точки на числовой прямой: x = 0 и x = 6.

4. Теперь рассмотрим интервалы между этими точками:

• Если x < 0, то в данном интервале \( -(-)^2 + 6(-) > 0 \). Получим \( 6 < 0 \), что неверно.
• Если 0 < x < 6, то в данном интервале \( -(+)^2 + 6(+) > 0 \). Получим \( -x^2 + 6x > 0 \), что верно.
• Если x > 6, то в данном интервале \( -(+)^2 + 6(+) > 0 \). Получим \( -x^2 + 6x > 0 \), что верно.

Таким образом, у нас есть два интервала, в которых данное неравенство выполняется: \( 0 < x < 6 \) и \( x > 6 \).

\[ \boxed{0 < x < 6 \quad \text{или} \quad x > 6} \]