Реши по картинке

Для исследования функции \( y = (x - 2)^2 \) и построения её графика, а также для поиска наибольшего и наименьшего значения на отрезке \([0.5; 2.5]\), следуем следующим шагам:

1. Исследование функции

Функция \( y = (x - 2)^2 \) представляет собой параболу, которая открыта вверх. Это видно из положительного коэффициента перед квадратом скобки.

Вершина параболы:
Форма \( (x - 2)^2 \) показывает, что вершина параболы находится в точке \( x = 2 \).

2. Поиск критических точек

Сначала найдём производную функции \( y \) для выявления критических точек:

\[ y = (x - 2)^2 \]

\[ y' = 2(x - 2) \]

Критическая точка определяется, когда производная равна нулю:

\[ 2(x - 2) = 0 \]

\[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

3. Границы отрезка

Проверим значения функции на концах отрезка \([0.5; 2.5]\):

• \( y(0.5) = (0.5 - 2)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \)

• \( y(2.5) = (2.5 - 2)^2 = 0.5^2 = 0.25 \)

4. Значение функции в критической точке

Так как \( x = 2 \) принадлежит отрезку \([0.5; 2.5]\), найдём значение функции в этой точке:

• \( y(2) = (2 - 2)^2 = 0 \)

5. Наибольшее и наименьшее значения

Теперь сравним найденные значения функции:

• \( y(0.5) = 2.25 \)
• \( y(2.5) = 0.25 \)
• \( y(2) = 0 \)

Наибольшее значение: \( y = 2.25 \) при \( x = 0.5 \)

Наименьшее значение: \( y = 0 \) при \( x = 2 \)

6. Построение графика

График функции \( y = (x - 2)^2 \) — это парабола с вершиной в точке \((2, 0)\), открытая вверх. На отрезке \([0.5, 2.5]\) она принимает значения от 0 до 2.25.

Вывод

• Наибольшее значение функции на отрезке \([0.5; 2.5]\) — \( 2.25 \).
• Наименьшее значение функции — \( 0 \).

Эти результаты можно использовать для построения и анализа графика параболы.