В прямоугольном треугольнике АВС высо- та CD, опущенная из прямого угла С, делит гипотенузу на отрезки 27 см и 12 см. 6) Найдите площадь треугольника АВС.

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и отрезков, на которые высота CD разбивает гипотенузу. Пусть длина гипотенузы треугольника \(ABC\) равна \(c\), длина отрезка, который делит гипотенузу длиной 27 см, равна \(m\), а длина отрезка, который делит гипотенузу длиной 12 см, равна \(n\). Из условия задачи у нас имеются два уравнения: 1. \( m + n = c \) - Вся гипотенуза делится на два отрезка. (1) 2. \( m \cdot n = S \) - Произведение отрезков, на которые делится гипотенуза, равно площади треугольника. (2) Нам также известно, что площадь треугольника можно выразить через его катеты и гипотенузу: \[ S = \frac{ab}{2} \] Где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника. Так как треугольник прямоугольный, то катеты \( a \) и \( b \) можно найти с использованием отрезков \( m \) и \( n \): \[ a = CD = m \] \[ b = BD = n \] Используем формулу площади треугольника через катеты: \[ S = \frac{mn}{2} \] Теперь объединим уравнение (2) и формулу площади треугольника: \[ S = \frac{mn}{2} \] Подставим в это уравнение значения \( m \) и \( n \), которые у нас уже есть: \[ S = \frac{27 \cdot 12}{2} \] \[ S = \frac{324}{2} \] \[ S = 162 \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна 162 квадратным сантиметрам.