Реши задачу

Чтобы найти внешний угол при вершине \( K \) в треугольнике \( MNK \), сначала определим внутренний угол при вершине \( K \).

1. Дано:

   • Угол \( MNK = 42^\circ \)
   • \( MK = KN \) (треугольник равнобедренный)

2. Свойства треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, углы \( \angle NMK \) и \( \angle NKM \) равны.
   • Пусть \( \angle NMK = \angle NKM = x \).

3. Сумма углов в треугольнике: \[ \angle MNK + \angle NMK + \angle NKM = 180^\circ \] \[ 42^\circ + x + x = 180^\circ \]

4. Найдем \( x \): \[ 42^\circ + 2x = 180^\circ \] \[ 2x = 180^\circ - 42^\circ \] \[ 2x = 138^\circ \] \[ x = 69^\circ \]

5. Внешний угол: Внешний угол при вершине \( K \) равен сумме углов, не смежных с ним: \[ \angle MNK + \angle NMK = 42^\circ + 69^\circ = 111^\circ \]

Таким образом, внешний угол при вершине \( K \) равен \( 111^\circ \).