Арифметическая прогрессия 5, 8, 11... и геометрическая прогрессия 4, 8, 16... имеют по 50 членов. Сколько одинаковых членов в обеих прогрессиях?

Для нахождения количества одинаковых членов в арифметической и геометрической прогрессиях, которые имеют по 50 членов, нужно сначала определить явные формулы для обоих последовательностей и затем решить уравнение, чтобы найти общие члены.

Арифметическая прогрессия:

Общий член арифметической прогрессии задается формулой:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \],
где:

• \( a_n \) - n-й член последовательности;
• \( a_1 \) - первый член последовательности;
• \( d \) - разность между членами прогрессии;
• \( n \) - порядковый номер члена.

В данной задаче у нас арифметическая прогрессия: 5, 8, 11...

• \( a_1 = 5 \),
• \( d = 8 - 5 = 3 \).

Формула для арифметической прогрессии: \[ a_n = 5 + 3(n-1) \].

Геометрическая прогрессия:

Общий член геометрической прогрессии задается формулой:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \],
где:

• \( a_n \) - n-й член последовательности;
• \( a_1 \) - первый член последовательности;
• \( r \) - знаменатель прогрессии;
• \( n \) - порядковый номер члена.

В данной задаче у нас геометрическая прогрессия: 4, 8, 16...

• \( a_1 = 4 \),
• \( r = 8/4 = 2 \).

Формула для геометрической прогрессии: \[ a_n = 4 \cdot 2^{(n-1)} \].

Нахождение общих членов:

Так как у нас обе прогрессии имеют по 50 членов, то мы можем равнять формулы для \( a_{50} \) и искать значения n, при которых \( a_{50(arith)} = a_{50(geom)} \):

\[ 5 + 3(50-1) = 4 \cdot 2^{(50-1)} \]
\[ 5 + 3 \cdot 49 = 4 \cdot 2^{49} \]
\[ 5 + 147 = 4 \cdot 2^{49} \]
\[ 152 = 4 \cdot 2^{49} \]
\[ 38 = 2^{49} \]
\[ 2^{49} = 2^{5 \times 8 + 3} = 2^5 \times 2^3 = 32 \times 8 = 256 \]

Таким образом, общих членов в обеих прогрессиях получается 256.