Решить уравнение 2cos в квадрате 2х-1=sin4x

Дано уравнение: \[2\cos^2(2x) - 1 = \sin(4x)\]

Заметим, что \(\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)\). Таким образом, уравнение можно переписать в виде: \[2\cos^2(2x) - 1 = 2\sin(2x)\cos(2x)\]

Разделим обе части на 2: \[\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = \sin(2x)\cos(2x)\]

Заметим, что \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\). Тогда уравнение примет вид: \[\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 2\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1)\]

Продолжим упрощение: \[\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 2\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1)\] \[\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 4\sin(x)\cos(x)\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x)\]

Применим формулу \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\): \[\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 4\sin(x)\cos(x)\cos^2(x) - \sin(2x)\]

Теперь уравнение содержит только углы \(x\). Проводим дальнейшие вычисления со смысловой точки зрения:

\[\cos^2(2x) - \frac{1}{2} = 4\sin(x)\cos(x)\cos^2(x) - \sin(2x)\] \[(2\cos^2(x) - 1)^2 - \frac{1}{2} = 4\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1) - 2\sin(x)\cos(x)\] \[4\cos^4(x) - 4\cos^2(x) + 1 - \frac{1}{2} = 8\sin(x)\cos(x)\cos^2(x) - 4\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x)\] \[4\cos^4(x) - 4\cos^2(x) + \frac{1}{2} = 8\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1) - 6\sin(x)\cos(x)\] \[4\cos^4(x) - 4\cos^2(x) + \frac{1}{2} = 16\sin(x)\cos^3(x) - 8\sin(x)\cos(x) - 6\sin(x)\cos(x)\]

Заменим \(\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\): \[4(1 - \sin^2(x))^2 - 4(1 - \sin^2(x)) + \frac{1}{2} = 16\sin(x)(1 - \sin^2(x))^{\frac{3}{2}} - 8\sin(x)\sqrt{1 - \sin^2(x)} - 6\sin(x)\sqrt{1 - \sin^2(x)}\]

Обозначим \(\sin(x)\) за \(t\): \[4(1 - t^2)^2 - 4(1 - t^2) + \frac{1}{2} = 16t(1 - t^2)^{\frac{3}{2}} - 8t\sqrt{1 - t^2} - 6t\sqrt{1 - t^2}\]

Далее можно решить это уравнение численно или с помощью графического метода, так как его аналитическое решение затруднительно.