log11 (5x^2+5x)=log11(x^2-15x)

Эта задача требует повышения уверенности в работе с логарифмами и алгебраическими уравнениями. Давайте решим её шаг за шагом.

Условие

Дано уравнение:

\[ \log_{11}(5x^2 + 5x) = \log_{11}(x^2 - 15x) \]

Шаг 1: Устранение логарифмов

Раз у нас логарифмы с одинаковым основанием, можем приравнять их аргументы:

\[ 5x^2 + 5x = x^2 - 15x \]

Шаг 2: Перенос всех членов в одну часть

Переносим все члены в одну часть уравнения:

\[ 5x^2 + 5x - x^2 + 15x = 0 \]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Упростим уравнение:

\[ 4x^2 + 20x = 0 \]

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Вынесем \(4x\) за скобки:

\[ 4x(x + 5) = 0 \]

Шаг 5: Решение каждого из множителей

Получаем два уравнения:

1. \(4x = 0\)

2. \(x + 5 = 0\)

Решим их:

1. \(4x = 0 \Rightarrow x = 0\)

2. \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

Ответ

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = -5\).

Проверка

Теперь нужно убедиться, что корни не делают выражения под логарифмами отрицательными или нулевыми.

• Для \(x = 0\):

  \[ 5(0)^2 + 5(0) = 0 \quad (\text{не подходит, т.к. логарифм не определён}) \]

• Для \(x = -5\):

  \[ 5(-5)^2 + 5(-5) = 125 - 25 = 100 \]

  \[ (-5)^2 - 15(-5) = 25 + 75 = 100 \]

Для \(x = -5\) логарифмы определены и равны.

Таким образом, единственный подходящий корень: \(x = -5\).