Log11 (5x^2+5x)=log11(x^2-15x)

Эта задача требует повышения уверенности в работе с логарифмами и алгебраическими уравнениями. Давайте решим её шаг за шагом. ### Условие Дано уравнение: \[ \log_{11}(5x^2 + 5x) = \log_{11}(x^2 - 15x) \] ### Шаг 1: Устранение логарифмов Раз у нас логарифмы с одинаковым основанием, можем приравнять их аргументы: \[ 5x^2 + 5x = x^2 - 15x \] ### Шаг 2: Перенос всех членов в одну часть Переносим все члены в одну часть уравнения: \[ 5x^2 + 5x - x^2 + 15x = 0 \] ### Шаг 3: Упрощение уравнения Упростим уравнение: \[ 4x^2 + 20x = 0 \] ### Шаг 4: Вынесение общего множителя Вынесем \(4x\) за скобки: \[ 4x(x + 5) = 0 \] ### Шаг 5: Решение каждого из множителей Получаем два уравнения: 1. \(4x = 0\) 2. \(x + 5 = 0\) Решим их: 1. \(4x = 0 \Rightarrow x = 0\) 2. \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\) ### Ответ Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 0\) и \(x = -5\). ### Проверка Теперь нужно убедиться, что корни не делают выражения под логарифмами отрицательными или нулевыми. - Для \(x = 0\): \[ 5(0)^2 + 5(0) = 0 \quad (\text{не подходит, т.к. логарифм не определён}) \] - Для \(x = -5\): \[ 5(-5)^2 + 5(-5) = 125 - 25 = 100 \] \[ (-5)^2 - 15(-5) = 25 + 75 = 100 \] Для \(x = -5\) логарифмы определены и равны. Таким образом, единственный подходящий корень: \(x = -5\).