actg(x+y)=x^2 yx=? найти производные

Цель: Pонять

Для решения этой задачи нам необходимо использовать правило дифференцирования для функций, где переменные линейно зависят друг от друга.

Дано:
\(f(x, y) = x^2y\)
\(g(x, y) = x + y\)

Мы видим, что \(f(x, y) = x^2y\) и \(g(x, y) = x + y\) соответствуют функциям \(u = xy\) и \(v = x + y\), где \(u\) и \(v\) - новые функции от \(x\) и \(y\).

Используем правило дифференцирования сложной функции \(F(u) = f(g(u)) = f(v)\):
\(\frac{dF}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d v}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d v}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d v}{dy}\)

Теперь вычислим частные производные \(f(x, y)\) по \(x\) и \(y\):
\(\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\) и \(\frac{\partial f}{\partial y} = x^2\)

Также, вычислим производные \(v = x + y\) по \(x\) и \(y\):
\(\frac{d v}{d x} = 1\) и \(\frac{d v}{d y} = 1\)

Подставляем все полученные значения:
\(\frac{dF}{dx} = 2xy \cdot 1 + x^2 \cdot 1 = 2xy + x^2\)

Таким образом, производная \(F\) по \(x\) равна \(2xy + x^2\), что является ответом на поставленный вопрос.