Построй график функции { 2 � 2 + 6 � + 3 , � ⩾ − 2 � + 2 , � < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях � m прямая � = � y=m имеет с графиком ровно две…
Построй график функции { 2 � 2 + 6 � + 3 , � ⩾ − 2 � + 2 , � < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2и определи, при каких значениях � m прямая � = � y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток, без пробелов. Например: 6(-1;10)
Дана функция:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]
Чтобы найти значения параметра \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции \( f(x) \), нужно выполнить следующие шаги:
Вначале построим график функции \( f(x) \):
Для значений \( x \) больше или равных -2 функция равна квадратичной функции \( 2x^2 + 6x + 3 \), а для значений \( x \) меньше -2 функция равна линейной функции \( x + 2 \).
Для значений \( x \) больше или равных -2:
- Найдем вершину параболы: вершина квадратичной функции имеет координаты \( (-b/2a, f(-b/2a)) \), где уравнение параболы задано в виде \( y = ax^2 + bx + c \).
- В данном случае, \( a = 2, b = 6, c = 3 \). Найдем вершину: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(2)} = -\frac{3}{2} \] \[ y_v = f(-\frac{3}{2}) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 \] \[ y_v = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{3}{2}, -1.5\right) \).
- Для линейной функции \( x + 2 \) нет необходимости находить вершину, так как она прямая.
Теперь рассмотрим прямую \( y = m \). Чтобы она пересекалась с графиком функции \( f(x) \), необходимо, чтобы:
- Для \( x \geq -2 \): Уравнение прямой \( y = m \) должно пересекаться с квадратичной функцией \( 2x^2 + 6x + 3 \).
- Для \( x < -2 \): Уравнение прямой \( y = m \) должно пересекаться с линейной функцией \( x + 2 \).
Чтобы прямая \( y = m \) имела две общие точки с графиком функции \( f(x) \), необходимо, чтобы:
- Прямая \( y = m \) пересекала квадратичную функцию \( 2x^2 + 6x + 3 \) в двух точках при \( x \geq -2 \).
- Прямая \( y = m \) пересекала линейную функцию \( x + 2 \) в двух точках при \( x < -2 \).
Таким образом, для решения задачи нужно найти значения параметра \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет две общие точки с графиком функции \( f(x) \).
