На числовой прямой даны два отрезка: P = [10; 20] и Q = [10; 55]. Укажите минимальную возможную длину такого отрезка A, для которого формула (¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) ∧ (x ∈ A)…
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10; 20] и Q = [10; 55]. Укажите минимальную возможную длину такого отрезка A, для которого формула (¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) ∧ (x ∈ A) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.
Цель: Понять.
Дано:
- Отрезок P = [10; 20]
- Отрезок Q = [10; 55]
- Формула: (¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) ∧ (x ∈ A)
Чтобы понять, когда формула тождественно ложна, нам нужно найти условия, при которых формула не выполняется, то есть равна 0 при любом значении переменной x.
Формула состоит из двух частей, объединенных логическим "И" (AND):
- (¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) - условие 1
- (x ∈ A) - условие 2
Посмотрим на условие 1:
- ¬(x ∈ P) - это отрицание того, что x принадлежит отрезку P. То есть, x не находится в интервале [10; 20].
- (x ∈ Q) - это условие нахождения x в отрезке Q, который равен [10; 55].
Теперь, для формулы (¬(x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)):
- Если x не принадлежит P и принадлежит Q, то результат будет истиной.
- Если же x принадлежит P, то результат будет ложью только если x также не принадлежит Q.
Таким образом, для условия 1 формула будет ложной тогда, когда x принадлежит P и не принадлежит Q.
Теперь рассмотрим условие 2:
- (x ∈ A) - это условие нахождения x в отрезке A.
Итак, формула тождественно ложна, если одновременно выполняются условия:
- x принадлежит P, но не принадлежит Q.
- x не принадлежит отрезку A.
Чтобы формула была ложной, наименьшая возможная длина отрезка A будет равна длине интервала [21; 55], так как в этом случае x будет принадлежать обоим отрезкам P и Q, но не принадлежать отрезку A.
