Реши задачу. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 21 см. Найди радиус вписанной в него окружности, если площадь этого треугольника составляет 36√6.

Решение:

Для начала найдем полупериметр \( p \) треугольника \( ABC \), где \( AB = 12 \) см, \( BC = 15 \) см, \( AC = 21 \) см:

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} \] \[ p = \frac{12 + 15 + 21}{2} \] \[ p = 24 \, \text{см} \]

Площадь треугольника можно выразить через полупериметр \( p \) и радиус вписанной в него окружности \( r \) формулой:

\[ S = \sqrt{p(p-ab)(p-ac)(p-bc)} \]

У нас уже известно, что площадь треугольника \( ABC \) составляет \( 36\sqrt{6} \), поэтому мы можем записать:

\[ 36\sqrt{6} = \sqrt{24(24-12)(24-15)(24-21)} \]

\[ 36\sqrt{6} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 3} \]

\[ 36\sqrt{6} = \sqrt{6^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} \]

\[ 36\sqrt{6} = 6 \cdot 2 \cdot 3 = 36 \]

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности \( r \) равен 6 см.

Итак, радиус вписанной в треугольник окружности равен 6 см.