Из пункта А в пункт Б по реке отправился плот. Одновременно с ним из пункта Б в пункт А вышел теплоход. Через 36 минут, когда плот преодолел пятую часть пути от А до Б, они встретились. После этого теплоход дошёл до пункта А, сделал остановку на 25 минут и с той же собственной скоростью отправился из пункта А в пункт Б. Через сколько минут после выхода из пункта А теплоход догонит плот?

Дано: 1. Плот отправился из пункта А в пункт Б по реке. 2. Теплоход отправился одновременно из пункта Б в пункт А. 3. Через 36 минут, когда плот преодолел пятую часть пути от А до Б, они встретились. 4. Теплоход после встречи дошел до пункта А, сделал остановку на 25 минут и отправился из А в Б с той же скоростью. Обозначим: - Пусть расстояние между пунктами А и Б равно d. - Путь, который успел пройти плот, равен d/5 (так как плот преодолел пятую часть пути до встречи). После встречи плот и теплоход продолжают двигаться в противоположных направлениях относительно друг друга. Поскольку плот и теплоход встретились через 36 минут, то за этот период времени расстояние, которое успел пройти плот плюс расстояние, которое успел пройти теплоход, равно d. Плот встречает теплоход через 36 минут, так что скорости плота и теплохода соотносятся как 36 минут к 25 минутам (время остановки теплохода). Обозначим: - r1 - скорость плота, - r2 - скорость теплохода. Тогда система уравнений будет следующей: 1. \( \frac{d}{5} = 36 \cdot r1 \) (путь плота) 2. \( d - \frac{d}{5} = 25 \cdot r2 \) (путь теплохода) 3. \( r1 \cdot 36 = r2 \cdot 25 \) (отношение скоростей) Решим эту систему уравнений. 1. \( \frac{d}{5} = 36 \cdot r1 \) \( d = 5 \cdot 36 \cdot r1 \) \( d = 180 \cdot r1 \) 2. \( d - \frac{d}{5} = 25 \cdot r2 \) \( d - \frac{d}{5} = d \cdot \frac{4}{5} = 25 \cdot r2 \) \( d = \frac{25}{4} \cdot r2 = 6.25 \cdot r2 \) 3. \( r1 \cdot 36 = r2 \cdot 25 \) \( 36 = \frac{r2}{r1} \cdot 25 \) \( \frac{r2}{r1} = \frac{36}{25} = \frac{4}{3} \) Из уравнения \( \frac{r2}{r1} = \frac{4}{3} \) следует, что скорость теплохода в 4/3 раза больше скорости плота. Теперь найдем, через сколько минут после выхода из пункта А теплоход догонит плот. Предположим, что это произойдет через t минут после того, как теплоход вышел из А. Тогда плот и теплоход переместятся за это время так, что расстояние между ними уменьшится на d (общее расстояние). За t минут плот пройдет расстояние \( r1 \cdot t \), а теплоход пройдет расстояние \( r2 \cdot t \). Таким образом, уравнение выглядит следующим образом: \( 180 \cdot r1 - r1 \cdot t = 6.25 \cdot r2 + r2 \cdot t \) Используя \( \frac{r2}{r1} = \frac{4}{3} \), подставим значения скоростей (r2 = 4r1/3) в уравнение и решим его: \( 180 \cdot r1 - r1 \cdot t = 6.25 \cdot \frac{4}{3} \cdot r1 + \frac{4}{3} \cdot r1 \cdot t \) \( 180 - t = \frac{25}{2} + \frac{4}{3}t \) \( 180 - \frac{25}{2} = \frac{4}{3}t + t \) \( 355/2 = \frac{7}{3}t \) \( t = \frac{710}{21} \) \( t \approx 33.81 \) минут Таким образом, теплоход догонит плот через примерно 33.81 минуту после выхода из пункта А.