На окружности с центром О последовательно отмечены точки А,В,С,D так, что точки А и К являются концами диаметра, углы АОС и СОК равны. Угол АОВ = 30, угол DOK = 60, докажите что BD=AC

**Решение:** Для начала, обозначим точку I как точку пересечения отрезков AC и BD. Поскольку угол АОС равен углу СОК, а угол DOK = 60, то угол DOK является смежным к углу АОС. Так как угол АОВ = 30, то угол AOV = 90 - 30 = 60 (угол в полукруге). Таким образом, треугольники AOV и DOK являются равнобедренными. Из свойств равнобедренного треугольника можем сказать, что угол AIO = углу BID и угол BIO = углу CID. Также, угол AIO = углу BIO = углу DIO = углу CIO (ибо это углы вписанные в окружность по своевержающим дугам). Теперь рассмотрим треугольники AIC и BID. Угол AIO = углу BID (по свойству равнобедренного треугольника AOV), угол AIС = угол BIO (по тому же свойству), AI = IC (радиус), BI = ID (радиус). Отсюда получаем, что треугольники AIC и BID подобны по стороне-углу-стороне. А значит, BD/AC = BI/AI = ID/IC = 1, так как радиусы равны. Следовательно, BD = AC. Таким образом, мы доказали, что BD = AC.