Тік төртбұрышты алаңды ұзындығы 120м болатын сыммен қоршау керек . Алаңның ауданы ең үлкен болу үшін ,оның ұзындығы мен ені қандай болу керек?

Данная задача связана с определением наибольшей площади прямоугольника с фиксированным периметром. Для решения этой задачи нам нужно определить, какие будут длина и ширина прямоугольника с заданным периметром и площадью, чтобы площадь была максимальной.

Пусть длина прямоугольника равна \( x \) метрам, а ширина равна \( y \) метрам. Тогда по условию задачи сумма всех сторон данного прямоугольника равна 120 метрам:

\[ 2x + 2y = 120 \] \[ x + y = 60 \] (1)

Известно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

\[ S = x \cdot y \] (2)

Для максимизации площади прямоугольника, мы можем воспользоваться методом подстановки подставив \( x = 60 - y \) из уравнения (1) в уравнение (2):

\[ S = (60 - y) \cdot y \]

У нас есть квадратное уравнение, и чтобы найти максимальное значение функции \( S \), мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Для этого найдем производную функции \( S \) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума (максимума):

\[ S = 60y - y^2 \] \[ \frac{dS}{dy} = 60 - 2y \] \[ 0 = 60 - 2y \] \[ y = 30 \]

Теперь найдем соответствующее значение \( x \) используя \( x = 60 - y \):

\[ x = 60 - 30 = 30 \]

Таким образом, для нахождения прямоугольника с максимальной площадью при фиксированном периметре в 120 метров, длина должна быть равна 30 метрам, а ширина также 30 метрам. Следовательно, площадь наибольшего такого прямоугольника будет равна 900 квадратным метрам.