Даны два шара, изготовленные из одного материала. Первый шар имеет диаметр 2 см и массу 16 г. Найди массу второго шара, если его диаметр 5 см. Ответ запиши в граммах.
Цель: Мы решаем задачу, чтобы понять, как связаны масса и диаметр шаров из одного материала.
Решение:
Сначала определим объем каждого шара, так как они изготовлены из одного материала. Объем шара вычисляется по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где \( r \) - радиус шара.
Для первого шара с диаметром 2 см радиус \( r_1 = \frac{2}{2} = 1 \) см. Подставим в формулу объема шара: \[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \]
Поскольку масса пропорциональна объему (если плотность материала в каждом шаре одинакова), найдем коэффициент, на который увеличивается объем при увеличении диаметра с 2 см до 5 см. Для этого воспользуемся пропорцией: \[ \frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^3 \] где \( V_1 \) - объем первого шара, \( V_2 \) - объем второго шара, \( d_1 = 2 \) см, \( d_2 = 5 \) см.
Подставим значения и найдем объем второго шара: \[ \frac{V_2}{\frac{4}{3} \pi} = \left( \frac{5}{2} \right)^3 \] \[ V_2 = \frac{4}{3} \pi \times \left( \frac{5}{2} \right)^3 \]
Теперь, поскольку плотность материала одинакова, можно сделать вывод, что масса второго шара будет пропорциональна его объему: \[ \text{Масса второго шара} = \frac{V_2}{V_1} \times \text{Масса первого шара} \] \[ \text{Масса второго шара} = \frac{V_2}{\frac{4}{3} \pi} \times 16 \, \text{г} \]
Подставим найденное значение объема второго шара и массу первого шара для вычисления массы второго шара: \[ \text{Масса второго шара} = \frac{\frac{4}{3} \pi \times \left( \frac{5}{2} \right)^3}{\frac{4}{3} \pi} \times 16 \, \text{г} \]
Выполним необходимые вычисления: \[ \text{Масса второго шара} = \left( \frac{5}{2} \right)^3 \times 16 \, \text{г} \]
Расчитаем значение: \[ \text{Масса второго шара} = \left( \frac{5}{2} \right)^3 \times 16 = \left( \frac{125}{8} \right) \times 16 = \frac{2000}{8} = 250 \, \text{г} \]
Ответ:
Масса второго шара с диаметром 5 см равна 250 граммам.
