Пусть  𝐾 𝐿 = 𝑃 𝑄 KL=PQ,  𝑂 𝑀 ⊥ 𝐾 𝐿 OM⊥KL,  𝑂 𝑅 ⊥ 𝑃 𝑄 OR⊥PQ,  𝑂 O — центр окружности. Рассмотрим  △ 𝑂 𝐾 𝐿 △OKL и  △ 𝑂 𝑃 𝑄 △OPQ.  𝑂 𝐾 OK,  𝑂 𝐿 OL,  𝑂 𝑃 OP,  𝑂 𝑄 OQ — , значит, они .  𝐾 𝐿 = 𝑃 𝑄 KL=PQ по условию. Следовательно,  △ 𝑂 𝐾 𝐿 = △ 𝑂 𝑃 𝑄 △OKL=△OPQ по признаку равенства треугольников и  ∠ 𝐿 = ∠ 𝑄 ∠L=∠Q. Рассмотрим  △ 𝑂 𝑀 𝐿 △OML и  △ 𝑂 𝑅 𝑄 △ORQ.  ∠ 𝑀 = ∠ 𝑅 = 9 0 ∘ ∠M=∠R=90 ∘  по условию.  ∠ 𝐿 = ∠ 𝑄 ∠L=∠Q.  𝑂 𝐿 = 𝑂 𝑄 OL=OQ, так как это . Значит,  △ 𝑂 𝑀 𝐿 = △ 𝑂 𝑅 𝑄 △OML=△ORQ и  𝑂 𝑀 = 𝑂 𝑅 OM=OR. Следовательно, хорды  𝐾 𝐿 KL и  𝑅 𝑄 RQ от центра окружности.

Дано: -  𝐾 𝐿 = 𝑃 𝑄 KL=PQ (Хорды равны) -  𝑂 𝑀 ⊥ 𝐾 𝐿 OM⊥KL,  𝑂 𝑅 ⊥ 𝑃 𝑄 OR⊥PQ (Основание перпендикуляра к хорде лежит на этой хорде) Доказать: -  ∠ 𝐿 = ∠ 𝑄 ∠L=∠Q (Углы при основании равны) Решение: 1. Дано, что  𝐾 𝐿 = 𝑃 𝑄 KL=PQ. Это означает, что хорды равны. 2. Рассмотрим треугольники  △ 𝑂 𝐾 𝐿 △OKL и  △ 𝑂 𝑃 𝑄 △OPQ: - По условию,  𝑂 𝐾 OK,  𝑂 𝐿 OL,  𝑂 𝑃 OP,  𝑂 𝑄 OQ — центры соответственно. - Так как хорды равны, то треугольники равны по стороне-стороне. - Из равенства треугольников следует, что  ∠ 𝐿 = ∠ 𝑄 ∠L=∠Q (Углы при основаниях равны). Таким образом, утверждение доказано: углы при основании равны при условии равенства хорд окружности.