Решить

Давайте разберем каждый номер по очереди: ### №1 **Дано:** Прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \). Гипотенуза \( AB = 9 \). \( \cos \gamma = \frac{2}{3} \). **Найти:** Катет \( BC \). **Решение:** В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. \[ \cos(\gamma) = \frac{BC}{AB} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{2}{3} = \frac{BC}{9} \] Находим \( BC \): \[ BC = 9 \times \frac{2}{3} = 6 \] Ответ: \( BC = 6 \). ### №2 **Дано:** Проведена средняя линия \( DE \). Периметр \( DE = 28 \). **Найти:** Периметр треугольника \( ABC \). **Решение:** Средняя линия в треугольнике равна половине основания, к которому она проведена. Поскольку \( DE \) — средняя линия, соединяющая середины двух сторон, ее длина равна половине длины основания \( BC \). Если \( DE \) — половина периметра, то полный периметр треугольника будет: \[ 2 \times 28 = 56 \] Ответ: Периметр \( ABC = 56 \). ### №3 **Найти:** Площадь треугольника \( ABC \), если \( AB = 9 \), \( BC = 6 \). **Решение:** Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AC \] Нам известно \( AB \) и \( BC \), но длина второго катета неизвестна. Воспользуемся теоремой Пифагора. \[ AB^2 = BC^2 + AC^2 \Rightarrow 9^2 = 6^2 + AC^2 \] \[ 81 = 36 + AC^2 \] \[ AC^2 = 45 \Rightarrow AC = 3\sqrt{5} \] Теперь считаем площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \] Ответ: \( S = 9\sqrt{5} \). ### №4 **Доказать:** Отрезок, соединяющий середины катетов, равен \(\frac{c}{2}\), где \( c \) — гипотенуза. **Решение:** Здесь используется свойство, что отрезок, соединяющий середины катетов, равен средней линии треугольника, которая равна половине гипотенузы. Таким образом, этот отрезок всегда будет равен половине гипотенузы. Ответ: Доказано. ### №5 **Дано:** \(\cos \theta = \frac{3}{\varepsilon}\), \(\theta = \frac{2}{3}\). **Найти:** \(\sin 8^\circ \times \tan 6^\circ\). (Решение оговорено) К сожалению, недостаточно данных для нахождения \(\sin\) и \(\tan\) без калькулятора и дополнительной информации.