48.2. |) Радиус окружности, вписанной в равносторонний гре- угольник, равен 2 см. Найдите сторону этого треугольника. 2) Найдите сторону АВ описанного четырехугольника ABCD, если…

Цель: Понять

1) Нахождение стороны равностороннего треугольника:

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a \) см. Так как радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2 см, то можно составить следующее уравнение, используя свойство равностороннего треугольника:

Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине высоты равностороннего треугольника, которая идет от вершины до середины стороны: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Условие задачи говорит, что радиус равен 2 см: \[ \frac{a\sqrt{3}}{6} = 2 \] \[ a\sqrt{3} = 12 \] \[ a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]

Итак, сторона равностороннего треугольника равна \( 4\sqrt{3} \) см.

2) Нахождение стороны АВ описанного четырехугольника ABCD:

Для нахождения стороны АВ прямоугольника ABCD, можно воспользоваться теоремой косинусов. Давайте обозначим угол между сторонами ВС = \( \angle BVC = \angle C \), угол между сторонами CD = \( \angle CVD = \angle D \), угол между сторонами DA = \( \angle DVA = \angle A \).

Сначала найдем угол В, используя теорему косинусов для треугольника BVC: \[ BV^2 = BC^2 + VC^2 - 2 \cdot BC \cdot VC \cdot \cos (\angle C) \] \[ 11^2 = x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 \cdot \cos \angle C \] \[ 121 = x^2 + 4 - 4x \cos \angle C \] \[ 4x \cos \angle C = x^2 - 117 \]

Аналогично, для угла D: \[ 169 = x^2 + 15^2 - 2 \cdot x \cdot 15 \cdot \cos \angle D \] \[ 169 = x^2 + 225 - 30x \cos \angle D \] \[ 30x \cos \angle D = x^2 - 56 \]

Теперь запишем угол A: \[ x^2 = CD^2 + DA^2 - 2 \cdot CD \cdot DA \cdot \cos \angle A \] \[ x^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos \angle A \] \[ x^2 = 169 + 225 - 390 \cos \angle A \] \[ 390\cos \angle A = 394 \] \[ \cos \angle A = \frac{394}{390} = \frac{197}{195} \]

Теперь выразим угол и найдем сторону AB: \[ \cos \angle A = \frac{197}{195} \] \[ \sin \angle A = \sqrt{1 - (\cos \angle A)^2} = \frac{6\sqrt{13}}{195} \] \[ \sin \angle A = \frac{AB}{15} \] \[ AB = 15 \cdot \frac{6\sqrt{13}}{195} = \frac{18\sqrt{13}}{13} \]

Итак, сторона АВ описанного четырехугольника ABCD равна \( \frac{18\sqrt{13}}{13} \) см.