Дано: cot(-4x) ≥ -√3/3
Чтобы решить это неравенство, мы должны использовать определения тригонометрических функций:
cot(x) = 1/tan(x)
tan(x) = sin(x)/cos(x)
Заметим, что cot(-4x) и cot(4x) равны, так как cot(-x) = cot(x).
Поскольку нам дано cot(-4x) ≥ -√3/3, мы можем записать это в виде:
1/tan(-4x) ≥ -√3/3
cos(-4x)/sin(-4x) ≥ -√3/3
cos(4x)/sin(4x) ≥ -√3/3
Теперь используем общие тригонометрические идентичности для cos(2x) и sin(2x):
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Рассмотрим sin(4x) и cos(4x):
sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) = 2(2sin(x)cos(x))(1 - 2sin²(x)) = 4sin(x)cos(x) - 8sin³(x)cos(x)
cos(4x) = 2cos²(2x) - 1 = 2(1 - 2sin²(x))² - 1 = 2(1 - 4sin²(x) + 4sin⁴(x)) - 1 = 2 - 8sin²(x) + 8sin⁴(x) - 1 = 1 - 8sin²(x) + 8sin⁴(x)
Используем sin(4x) и cos(4x) в неравенстве:
(1 - 8sin²(x) + 8sin⁴(x))/(4sin(x)cos(x) - 8sin³(x)cos(x)) ≥ -√3/3
(1 - 8sin²(x) + 8sin⁴(x))/(4sin(x)cos(x)(1 - 2sin²(x))) ≥ -√3/3
Теперь приведем выражение к общему знаменателю и продолжим решение.
