Векторы AB и А1В1 равны. Докажите, что если точка А, В, А1, В1 не лежат на одной прямой то четырехугольник ABB1A1 параллелограмм

**Решение:** Для начала обозначим векторы: Пусть векторы \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A1B1} \), где \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{A1B1} \) равны по модулю и направлению. Также, дано, что точки A, B, A1, B1 не лежат на одной прямой. Чтобы доказать, что четырехугольник \( ABB1A1 \) является параллелограммом, необходимо показать, что его стороны \( AB \) и \( B1A1 \) параллельны и равны по длине, а также что его диагонали \( AA1 \) и \( BB1 \) пересекаются в их серединах. 1. **Доказательство сторон:** **а) Параллельность** Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{A1B1} \) равны по направлению. Следовательно, отрезки AB и A1B1 параллельны. **б) Равенство длин** Поскольку векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{A1B1} \) равны по модулю, длина отрезка AB равна длине отрезка A1B1. 2. **Доказательство диагоналей:** **а) Пересечение в серединах** Рассмотрим точки M и N — середины отрезков AA1 и BB1 соответственно. Поскольку \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A1B1} \), то соответствующие стороны параллельны и одинаковой длины. Таким образом, отрезки AM, AN, BM и BN являются равными по модулю и направлению векторам \( \overrightarrow{A1B1} \). Следовательно, отрезки AM и BN, а также AN и BM пересекаются в своих серединах, что доказывает пересечение диагоналей в их серединах. Таким образом, по доказанным выше утверждениям, четырехугольник \( ABB1A1 \) является параллелограммом.