В медицинском тесте на определенное заболевание известно, что вероятность получить положительный результат при наличии заболевания составляет 95% (чувствительность теста), а…

Дано:

• Вероятность получить положительный результат при наличии заболевания (чувствительность теста) = 0.95
• Вероятность получить отрицательный результат, когда заболевания нет (специфичность теста) = 0.90
• Вероятность заболевания = 0.01

Нам нужно найти вероятность того, что человек, получивший положительный результат теста, действительно болеет.

Обозначим:

• P(A) - вероятность заболевания (доля людей болеют этим заболеванием), P(A) = 0.01
• P(B) - вероятность получить положительный результат теста
• P(Pos|A) - вероятность получить положительный результат при наличии заболевания
• P(Pos|¬A) - вероятность получить положительный результат, когда заболевания нет

Используем формулу Байеса для нахождения вероятности того, что человек болен заболеванием при условии положительного теста:

\[ P(A|Pos) = \frac{P(Pos|A) \cdot P(A)}{P(Pos)} \]

где: \[ P(Pos) = P(Pos|A) \cdot P(A) + P(Pos|¬A) \cdot P(¬A) \]

Для нахождения P(Pos|¬A) (вероятность получить положительный результат, когда заболевания нет), используем специфичность теста: \[ P(Pos|¬A) = 1 - P(Neg|¬A) = 1 - 0.90 = 0.10 \]

Теперь найдем P(Pos): \[ P(Pos) = P(Pos|A) \cdot P(A) + P(Pos|¬A) \cdot P(¬A) \] \[ P(Pos) = 0.95 \cdot 0.01 + 0.10 \cdot (1 - 0.01) \] \[ P(Pos) = 0.0095 + 0.099 = 0.1085 \]

Теперь можем найти P(A|Pos): \[ P(A|Pos) = \frac{0.95 \cdot 0.01}{0.1085} \approx \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876 \]

Таким образом, вероятность того, что человек, получивший положительный результат теста, действительно болеет, составляет приблизительно 8.76%.