Задумано двузначное число, которое делится на 9. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

**Решение:** Пусть задуманное двузначное число - AB, где A и B - цифры. Так как число делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9. Значит, A + B должно быть равно 9 (возможные варианты: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90). Когда к числу AB добавляем ту же цифру AB, мы получаем четырёхзначное число ABAB. Так как число ABAB делится на 11, разность суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, должна быть кратна 11. То есть (A - B) должно быть кратно 11. Исследуя возможные варианты для суммы A + B = 9 и подходящих чисел A - B, видим, что подходит вариант A = 8, B = 1. Таким образом, число AB = 81. Проверим: 81 + 81 = 162, что делится на 11 (162 / 11 = 14). **Ответ:** Задуманное число - 81.