Решите неравенство 25х² -10x+1/5x² +9x-2 <=0

Дано неравенство: \(25x^2 - 10x + \frac{1}{5}x^2 + 9x - 2 \leq 0\)

Для начала преобразуем выражение, объединив одночлены и приведя подобные:

\(25x^2 + \frac{1}{5}x^2 - 10x + 9x - 2 \leq 0\)

\(25\frac{5}{5}x^2 + \frac{1}{5}x^2 - 10x + 9x - 2 \leq 0\)

\(\frac{125}{5}x^2 + \frac{1}{5}x^2 - x - 2 \leq 0\)

\(\frac{126}{5}x^2 - x - 2 \leq 0\)

Упростим дальше:

\(\frac{126}{5}x^2 - x - 2 = 0\)

Теперь найдем корни данного квадратного уравнения \(\frac{126}{5}x^2 - x - 2 = 0\):

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot \frac{126}{5} \cdot (-2)}}{2 \cdot \frac{126}{5}}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + \frac{1008}{5}}}{\frac{252}{5}}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{1013}{5}}}{\frac{252}{5}}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{1013} \cdot 5}{252}\]

\[x = \frac{1 \pm 5\sqrt{1013}}{252}\]

Теперь мы знаем корни квадратного уравнения. Для решения неравенства заключаем, что функция квадратного типа. Точки, в которых функция обращается в нуль (\(x=\frac{1 + 5\sqrt{1013}}{252}\) и \(x=\frac{1 - 5\sqrt{1013}}{252}\)), являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс.

Следовательно, области убывания и возрастания функции определяются вокруг данных точек. Можно построить знакопеременную таблицу, чтобы найти интервалы убывания и возрастания функции и, соответственно, определить, когда функция меньше или равна нулю.

Таким образом, ответом на данное неравенство будет:

\[x \leq \frac{1 - 5\sqrt{1013}}{252} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1 + 5\sqrt{1013}}{252}\]