1. Найти восьмой член и формулу n-го члена арифметической прогрессии 29; 23… 2. Найти первый член и сумму 12 первых членов арифметической прогрессии (аn), если а3 = –18 и а7 = 6.…

Цель: Понять.

1. Решение:

   • Для арифметической прогрессии, где первый член \( a_1 = 29 \) и разность \( d = 23 - 29 = -6 \):
     • Чтобы найти восьмой член, используем формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \), где \( n = 8 \): \[ a_8 = 29 + (8-1) \times (-6) = 29 - 42 = -13 \]
     • Формула для \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

2. Решение:

   • Для данной арифметической прогрессии с \( a_3 = -18 \) и \( a_7 = 6 \):
     • Найдем разность, \( a_1 \) и сумму первых 12 членов:
       • Разность \( d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{6 - (-18)}{7 - 3} = \frac{24}{4} = 6 \)
       • Теперь найдем первый член \( a_1 = a_3 - 2d = -18 - 2 \times 6 = -30 \)
       • Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)

3. Решение:

   • Для последовательности, где \( a_n = 3n - 1 \):
     • Найдем сумму первых 15 членов:
       • Подставим \( n = 15 \) в формулу \( a_n = 3n - 1 \): \( a_{15} = 3 \times 15 - 1 = 44 \)
       • Сумма первых 15 членов: \( S_{15} = \frac{15}{2}(a_1 + a_{15}) \)

4. Решение:

   • Для геометрической прогрессии с первым членом 12 и знаменателем \( q = \frac{-6}{12} = -0.5 \):
     • Найдем пятый член и сумму шести первых членов:
       • Пятый член: \( a_5 = a_1 \times q^{5-1} \)
       • Сумма шести первых членов: \( S_6 = a_1 \times \frac{1 - q^6}{1 - q} \)

5. Решение:

   • Для заданной геометрической прогрессии с \( b_2 = 16 \) и \( b_4 = 144 \):
     • Найдем первый член и сумму четырех первых членов:
       • Находим знаменатель: \( q = \sqrt{\frac{b_4}{b_2}} \)
       • Первый член: \( b_1 = \frac{b_2}{q} \)
       • Сумма четырех первых членов: \( S_4 = b_1 \times \frac{1 - q^4}{1 - q} \)

6. Решение:

   • Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140, используем формулу суммы арифметической прогрессии:
     • Найти количество чисел, которые мы ищем: \( n = \left\lfloor \frac{140}{8} \right\rfloor \)
     • Сумма: \( S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \)

Эти пошаговые решения помогут понять, как найти искомые члены и суммы для данных последовательностей.