Реши

Давай разберем каждую из задач:

1. Преобразуйте выражение:

a) \( x^2 \cdot x^3 \)

Для произведения степеней с одинаковым основанием складываем показатели:
\[ x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5 \]

b) \( a^3 \cdot a^{-3} \)

Складываем показатели:
\[ a^3 \cdot a^{-3} = a^{3 + (-3)} = a^0 = 1 \]

c) \( 3^5 \cdot 3^{-5} \)

Складываем показатели:
\[ 3^5 \cdot 3^{-5} = 3^{5 + (-5)} = 3^0 = 1 \]

d) \( m^9 \div m^5 \)

При делении степеней вычитаем показатели:
\[ m^{9} \div m^{5} = m^{9-5} = m^4 \]

e) \( n^{-12} \div n^{-8} \)

\[ n^{-12} \div n^{-8} = n^{-12 - (-8)} = n^{-4} \]

f) \( 7^{-5} \cdot 7 \cdot 7^4 \)

Складываем показатели:
\[ 7^{-5} \cdot 7^1 \cdot 7^4 = 7^{-5 + 1 + 4} = 7^0 = 1 \]

g) \( (x^3 y^2)^{-3} \)

Возведем степень:
\[ (x^3 y^2)^{-3} = x^{-9} y^{-6} \]

h) \( (k^{-7})^{-5} \)

Для возведения степени в степень умножаем показатели:
\[ (k^{-7})^{-5} = k^{35} \]

2. Вычислите:

a) \( 2^4 \cdot 2^8 \)

\[ 2^{4+8} = 2^{12} = 4096 \]

b) \( (4^1)^2 \)

\[ (4^1)^2 = 4^{1\cdot2} = 4^2 = 16 \]

c) \( 7^3 \div 7 \)

\[ 7^{3-1} = 7^2 = 49 \]

d) \( (a^5)^4 \cdot a^{22} \)

\[ a^{5\cdot4 + 22} = a^{20 + 22} = a^{42} \]

3. Упростите:

a) \(\frac{18x^7 \cdot 7y^5}{6x^2 \cdot 2y}\)

Сократим дробь: \[ \frac{18 \cdot 7 \cdot x^{7} \cdot y^{5}}{12 \cdot x^2 \cdot y} = \frac{126}{12} \cdot x^{7-2} \cdot y^{5-1} \] \[ = 10.5x^5y^4 \]

b) \(\frac{(4a)^2 \cdot (b)^2}{b^5 \cdot 56a^8}\)

Вычисляем: \[ \frac{16a^2b^2}{56a^8b^5} = \frac{16}{56} \cdot a^{2-8} \cdot b^{2-5} \] \[ = \frac{2}{7} \cdot a^{-6} \cdot b^{-3} \]

4. Вычислите:

a) \( 2^{7-2 \cdot 7}\)

\[ 2^{7-14} = 2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} \]

b) \( 3^4 \cdot 3^2 - 16 \cdot 3\)

Выполним действия: \[ 3^{6} - 48 = 729 - 48 = 681 \]

c) \((-3)^5 \cdot 2^3\)

Вычислим: \[ (-3)^5 = -243 \quad \text{и} \quad 2^3 = 8 \] \[ -243 \cdot 8 = -1944 \]

d) \( 7^6 - (72)^4 \)

\[ 7^6 = 117649 \quad \text{и} \quad 72^4 = 1679616 \] \[ 117649 - 1679616 = -1561967 \]

e) \( (49: 7 \cdot 103)^2 : (16 \cdot 4^2)\)

\[ (7 \cdot 103)^2 : (16 \cdot 16) = (721)^2 : 256 \] \[ = 519841 : 256 \approx 2030.47 \]

f) \( 12^{5-3}\cdot 16\)

\[ 12^2 \cdot 16 = 144 \cdot 16 = 2304 \]

g) \( 8^{1-2}: 7^{2-7}\)

\[ 8^{-1} : 7^{-5} = \frac{1}{8} \cdot 7^5 = \frac{1 \cdot 16807}{8} = 2100.875 \]

h) \(\frac{67^{2-1}\cdot110}{66^{1-0}}\)

\[ \frac{67 \cdot 110}{66} = \frac{7370}{66} \approx 111.67 \]

Вот пошаговое решение всех задач. Если что-то осталось непонятным, дай знать, и я помогу!