Дана правильная четырехугольная пирамида сторона ее основания равна 3 см высота пирамиды равна 5 см .найти: 1) площадь основания пирамиды; 2) боковое ребро пирамиды; 3) апофему пирамиды; 4) площадь боковой поверхности пирамиды; 5) площадь полной поверхности пирамиды; тангенс угла наклона боковой грани к к плоскости основания пирамиды;

**Решение:** 1. **Площадь основания пирамиды:** - Поскольку дано, что сторона основания пирамиды равна 3 см, то площадь основания пирамиды вычисляется по формуле для площади квадрата: $S_{\text{основания}} = a^2$, где $a$ - сторона квадрата. Подставляем данные: $S_{\text{основания}} = 3^2 = 9$ см$^2$. Ответ: площадь основания пирамиды равна 9 см$^2$. 2. **Боковое ребро пирамиды:** - Для нахождения бокового ребра можно воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где высота, боковое ребро и апофема пирамиды являются катетами, а боковое ребро - гипотенузой: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$, где $l$ - боковое ребро, $h$ - высота, $r$ - апофема. Подставляем данные: $l = \sqrt{5^2 + r^2}$. 3. **Апофема пирамиды:** - Для нахождения апофемы также можно воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике, составленном из апофемы, радиуса основания и бокового ребра: $r^2 = a^2 - h^2$, где $r$ - апофема, $a$ - сторона основания, $h$ - высота. Подставляем данные: $r = \sqrt{3^2 - 5^2}$. 4. **Площадь боковой поверхности пирамиды:** - Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: $S_{\text{бок}} = \frac{pl}{2}$, где $p$ - периметр основания, $l$ - боковое ребро. Подставляем данные: $S_{\text{бок}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot l}{2}$. 5. **Площадь полной поверхности пирамиды:** - Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности: $S_{\text{полн}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{бок}}$. 6. **Тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды:** - Тангенс угла наклона равен отношению высоты к радиусу основания: $\tan(\theta) = \frac{h}{r}$. Подставляем данные: $\tan(\theta) = \frac{5}{\sqrt{3^2 - 5^2}}$.