x^2-4/2x+1<0

Дано неравенство: \( \frac{x^2-4}{2x+1} < 0 \).

Чтобы решить это неравенство, мы можем рассмотреть его в виде уравнения, найти корни этого уравнения и построить знаки функции в интервалах, определенных корнями уравнения.

1. Начнем с поиска корней уравнения \( \frac{x^2-4}{2x+1} = 0 \).
   \( x^2 - 4 = 0 \)
   \( (x-2)(x+2) = 0 \)
   Отсюда получаем два корня: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

2. Теперь построим знаки функции \( f(x) = \frac{x^2-4}{2x+1} \) на интервалах, образованных корнями уравнения:

   • Проверим знак функции в каждом из интервалов:
     • Если \( x < -2 \): Выбираем произвольное значение \( x \) из этого интервала, например, \( x = -3 \).
       Подставляем \( x = -3 \) в \( f(x) \):
       \( f(-3) = \frac{(-3)^2-4}{2(-3)+1} = \frac{9-4}{-6+1} = \frac{5}{-5} < 0 \)
       Таким образом, на интервале \( x < -2 \) функция \( f(x) \) отрицательна.
     • Если \( -2 < x < 2 \): Выбираем \( x = 0 \).
       \( f(0) = \frac{0^2-4}{2(0)+1} = \frac{-4}{1} = -4 < 0 \)
       Значит, на интервале \( -2 < x < 2 \) функция \( f(x) \) также отрицательна.
     • Если \( x > 2 \): Выбираем \( x = 3 \).
       \( f(3) = \frac{3^2-4}{2(3)+1} = \frac{9-4}{6+1} = \frac{5}{7} > 0 \)
       Таким образом, на интервале \( x > 2 \) функция \( f(x) \) положительна.

3. Теперь объединим информацию о знаках функции на интервалах и определим области, в которых неравенство \( \frac{x^2-4}{2x+1} < 0 \) выполняется:

   • Неравенство выполняется на интервалах, где функция \( f(x) \) отрицательна:
     Таким образом, решение неравенства -[2,2).

Таким образом, решение неравенства \( \frac{x^2-4}{2x+1} < 0 \) - (-[2,2).