X^2-4/2x+1<0

Дано неравенство: \( \frac{x^2-4}{2x+1} < 0 \). Чтобы решить это неравенство, мы можем рассмотреть его в виде уравнения, найти корни этого уравнения и построить знаки функции в интервалах, определенных корнями уравнения. 1. Начнем с поиска корней уравнения \( \frac{x^2-4}{2x+1} = 0 \). \( x^2 - 4 = 0 \) \( (x-2)(x+2) = 0 \) Отсюда получаем два корня: \( x = -2 \) и \( x = 2 \). 2. Теперь построим знаки функции \( f(x) = \frac{x^2-4}{2x+1} \) на интервалах, образованных корнями уравнения: - Проверим знак функции в каждом из интервалов: - Если \( x < -2 \): Выбираем произвольное значение \( x \) из этого интервала, например, \( x = -3 \). Подставляем \( x = -3 \) в \( f(x) \): \( f(-3) = \frac{(-3)^2-4}{2(-3)+1} = \frac{9-4}{-6+1} = \frac{5}{-5} < 0 \) Таким образом, на интервале \( x < -2 \) функция \( f(x) \) отрицательна. - Если \( -2 < x < 2 \): Выбираем \( x = 0 \). \( f(0) = \frac{0^2-4}{2(0)+1} = \frac{-4}{1} = -4 < 0 \) Значит, на интервале \( -2 < x < 2 \) функция \( f(x) \) также отрицательна. - Если \( x > 2 \): Выбираем \( x = 3 \). \( f(3) = \frac{3^2-4}{2(3)+1} = \frac{9-4}{6+1} = \frac{5}{7} > 0 \) Таким образом, на интервале \( x > 2 \) функция \( f(x) \) положительна. 3. Теперь объединим информацию о знаках функции на интервалах и определим области, в которых неравенство \( \frac{x^2-4}{2x+1} < 0 \) выполняется: - Неравенство выполняется на интервалах, где функция \( f(x) \) отрицательна: Таким образом, решение неравенства -\[2,2). Таким образом, решение неравенства \( \frac{x^2-4}{2x+1} < 0 \) - (-\[2,2).