шар вписан в куб. Найдите отношение объёмов шара и куба

Цель: Понять

Решение:

Для того чтобы найти отношение объемов шара и куба, давайте воспользуемся формулами для вычисления объемов.

1. Объем шара: Объем шара можно найти по формуле: \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \), где \( r \) - радиус шара.

2. Объем куба: Объем куба равен: \( V_{\text{куб}} = a^3 \), где \( a \) - длина ребра куба.

Для задачи дано, что шар вписан в куб. Это означает, что диаметр шара совпадает с длиной ребра куба. Так как диаметр \(= 2r = a \), где \( r \) - радиус шара, \( a \) - длина ребра куба.

Теперь найдем отношение объемов шара и куба: \[ \text{Отношение объемов} = \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{куб}}}\]

Подставим значения объемов в формулы:

1. Объем шара: \[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2} \right)^3 = \frac{\pi a^3}{6} \]

2. Объем куба: \[ V_{\text{куб}} = a^3 \]

Теперь найдем отношение объемов: \[ \text{Отношение объемов} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 \]

Ответ: Отношение объема вписанного шара к объему описывающего его куба равно примерно 0.5236, или \( \frac{\pi}{6} \).