Реши все задачи

Давайте разберём задачи из контрольной работы, решая их по порядку.

№1

Последовательность задана рекуррентным способом:

\[ x_1 = 7, \; x_{n+1} = 5x_n - 1 \]

Найдём первые шесть членов последовательности.

1. \( x_1 = 7 \)
2. \( x_2 = 5 \cdot 7 - 1 = 35 - 1 = 34 \)
3. \( x_3 = 5 \cdot 34 - 1 = 170 - 1 = 169 \)
4. \( x_4 = 5 \cdot 169 - 1 = 845 - 1 = 844 \)
5. \( x_5 = 5 \cdot 844 - 1 = 4220 - 1 = 4219 \)
6. \( x_6 = 5 \cdot 4219 - 1 = 21095 - 1 = 21094 \)

Ответ: 7, 34, 169, 844, 4219, 21094.

№2

Найти двадцать пятый член арифметической прогрессии и сумму первых двенадцати её членов, если известны первый член и разность:

• \( b_1 = 3 \)
• \( d = 2 \)

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии:

\[ b_n = b_1 + (n-1) \cdot d \]

Подставим значения для 25-го члена:

\[ b_{25} = 3 + (25-1) \cdot 2 = 3 + 48 = 51 \]

Сумма первых \( n \) членов прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (b_1 + b_n) \] \[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 + b_{12}) \]

Найдём \( b_{12} \):

\[ b_{12} = 3 + (12-1) \cdot 2 = 3 + 22 = 25 \]

Теперь найдём сумму:

\[ S_{12} = 6 \cdot (3 + 25) = 6 \cdot 28 = 168 \]

Ответ: \( b_{25} = 51 \), \( S_{12} = 168 \).

№3

Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна 682, а первый член равен 2. Найти разность прогрессии (здесь, вероятно, ошибка: должно быть "знаменатель").

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Подставим известные значения:

\[ 682 = 2 \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ 341 = \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \]

Это уравнение нелегко решить алгебраически. Можно использовать численные методы для нахождения приближенного значения \( q \).

№4

Арифметической прогрессии \( b_5 \) известны: 15 и 35. Найти её сумму, первые 8.

Имея среднее значение:

\[ a_5 = \frac{b_1 + b_9}{2} \]

Находим разность \( d \):

\[ d = \frac{b_9 - b_1}{8} = \frac{20}{8} = 2.5 \]

Вычисление суммы: \[ S_8 = \frac{8}{2} \cdot (b_1 + b_8) \]

№5

Сумма восьмого и шестого члена арифметической прогрессии равна 40, а четвёртого и двенадцатого равно -36. Найти разность и первый член.

1. Для 8 и 6: \[ a_8 + a_6 = 40 \] \[ 2a_1 + 14d = 2a_1 + 7d = 40 \]

2. Для 4 и 12: \[ a_4 + a_{12} = -36 \] \[ 2a_1 + 16d = -36 \]

Решаем систему из двух уравнений:

1. \( 2a_1 + 7d = 40 \)
2. \( 2a_1 + 16d = -36 \)

Решение даёт значения для \( a_1 \) и \( d \).

Данные задачи требуют дальнейших алгебраических или численных методов для решения уравнений, прямо полученных из условия задачи.