Для решения данной задачи, мы должны найти первообразную функции ( f(x) = 4 + 6x^2 ), у которой значение при ( x = 2 ) отрицательно. Для начала, найдем первообразную функции ( f(x) ) путем интегрирования.
Итак, у нас дано:
[ f(x) = 4 + 6x^2 ]
Чтобы найти первообразную этой функции, возможно использовать интеграцию.
[ \int f(x) , dx = \int (4 + 6x^2) , dx ]
Интегрируем отдельные части:
[ \int 4 , dx + \int 6x^2 , dx ]
[ \int 4 , dx = 4x + C_1 ] ; Здесь ( C_1 ) - произвольная постоянная.
[ \int 6x^2 , dx = 2x^3 + C_2 ] ; Здесь ( C_2 ) - другая произвольная постоянная.
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 4 + 6x^2 ) будет:
[ F(x) = 4x + 2x^3 + C ] ; где ( C = C_1 + C_2 ) - итоговая произвольная постоянная.
Теперь, чтобы найти значение ( F(x) ) при ( x = 2 ) и убедиться, что оно отрицательное, подставим ( x = 2 ) и сравним результат с нулем:
[ F(2) = 4(2) + 2(2)^3 + C = 8 + 16 + C = 24 + C ]
Если ( F(2) < 0 ), то ( 24 + C < 0 ), следовательно, можем выбрать ( C < -24 ), чтобы удовлетворить условие.
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 4 + 6x^2 ), значение которой при ( x = 2 ) отрицательно, имеет вид:
[ F(x) = 4x + 2x^3 + C ] ; где ( C < -24 )
