Центром окружности, описанной около любого треугольника является точка пересечения медиан этого треугольника

**Решение:** Для доказательства данного утверждения давайте рассмотрим треугольник ABC, у которого построена окружность, описанная вокруг него, и обозначим точки пересечения медиан этого треугольника за точку M. 1. Построим медианы треугольника ABC. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону пополам. Пусть AD, BE и CF — медианы треугольника ABC, причем D, E и F — середины сторон треугольника. 2. Сначала докажем, что точка M лежит на медиане AD. Для этого заметим, что так как окружность проходит через точки A, B и C, то угол ABC является вписанным углом. Также угол в центральном углу (угол BAC) равен удвоенному углу вписанному углу (углу ABC). Таким образом, угол BAM равен углу BAC (по центральному углу) и угол ACM равен углу BCA (по центральному углу). Получаем, что треугольники ABM и ACM подобны по двум углам (по углам при вершине). Значит, соответствующие стороны пропорциональны: AM / MC = AB / AC. 3. Аналогично доказывается, что точка M лежит на медианах BE и CF треугольника ABC. Таким образом, точка M пересечения медиан треугольника ABC является общей для всех медиан и называется центром тяжести или барицентром треугольника.