3x(2+x)>4-x

Решение:

Дано неравенство: \(3x(2+x) > 4-x\)

1. Раскроем скобки: \(6x + 3x^2 > 4 - x\)

2. Перенесем все члены в левую часть неравенства: \(3x^2 + 7x - 4 > 0\)

3. Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 + 7x - 4 = 0\): \(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*3*(-4) = 49 + 48 = 97\) \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{6} \approx -2.28, 0.61\)

4. Теперь найдем знак значения \(3x^2 + 7x - 4\) для \(x\) в интервалах \((-\infty, -2.28), (-2.28, 0.61), (0.61, +\infty)\).

   • Проверим точку \(x = -3\): \(3(-3)^2 + 7(-3) - 4 = 27 - 21 - 4 = 2 > 0\), значит, неравенство верно для \(x \in (-\infty, -2.28)\).
   • Проверим точку \(x = 0\): \(3(0)^2 + 7(0) - 4 = -4 < 0\), значит, неравенство не верно для \(x \in (-2.28, 0.61)\).
   • Проверим точку \(x = 1\): \(3(1)^2 + 7(1) - 4 = 6 + 7 - 4 = 9 > 0\), значит, неравенство верно для \(x \in (0.61, +\infty)\).

5. Таким образом, решение исходного неравенства \(3x(2+x) > 4-x\): \(x \in (-\infty, -2.28) \cup (0.61, +\infty)\)