Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов. Найдите высоту пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами четырехугольной пирамиды. Пусть высота пирамиды равна \( h \), а сторона основания \((ABCD)\) равна \( s \). Из условия задачи мы знаем, что боковое ребро \( EF = 4 \) см и угол между этим ребром и плоскостью основания пирамиды \( \angle AEF = 45^\circ \). Рассмотрим треугольник \( AEF \), где \( AE \) - высота пирамиды, \( AF \) - боковое ребро, \( \angle AEF = 45^\circ \). Сначала найдем значение высоты пирамиды \( h \): \[ \sin 45^\circ = \frac{AE}{AF} \] \[ \sin 45^\circ = \frac{h}{4} \] \[ h = 4 \cdot \sin 45^\circ \] \[ h = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot p \] где \( p \) - периметр основания. Так как это правильная четырехугольная пирамида, то периметр основания \( p = 4s \). Таким образом, \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot 4s = 2s^2 \] Подставим значение стороны основания: \[ S_{бок} = 2 \cdot (2\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}^2 \] Итак, высота пирамиды равна \( 2\sqrt{2} \) см, а площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 16 \) см².