Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь полной поверхности…
Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Для решения задачи найдем необходимые элементы параллелепипеда.
- Площадь основания параллелепипеда:
Основание — ромб с диагоналями 10 и 24 см. Площадь ромба можно найти через его диагонали:
\[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
Подставляем значения:
\[ S = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 \, \text{см}^2 \]
- Высота параллелепипеда:
Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Это означает, что одна из боковых граней является прямоугольным треугольником с углом \(45^\circ\).
Пусть \(h\) — высота параллелепипеда. Тогда по тригонометрическим соотношениям (например, тангенс угла) в этом треугольнике:
\[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{h}{\text{меньшая диагональ основания}} \]
Поскольку диагональ основания (меньшая) равна \(10 \, \text{см}\) (по условию), мы получаем \(h = 10 \, \text{см}\).
- Площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности параллелепипеда складывается из четырех прямоугольников. Длины сторон этих прямоугольников равны периметру основания и высоте:
Сначала найдем стороны ромба используя диагонали: По формуле для сторон ромба через диагонали: \[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} \]
\[ a = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см} \]
Периметр ромба \(P = 4a = 4 \cdot 13 = 52 \, \text{см}\).
Следовательно, площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = P \cdot h = 52 \cdot 10 = 520 \, \text{см}^2 \]
- Полная площадь поверхности параллелепипеда:
Полная площадь поверхности — это сумма площадей двух оснований и боковой поверхности:
\[ S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]
Подставляем значения:
\[ S_{\text{полная}} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, полная площадь поверхности параллелепипеда составляет \(760 \, \text{см}^2\).
