Для решения задачи найдем необходимые элементы параллелепипеда.
- Площадь основания параллелепипеда:
Основание — ромб с диагоналями 10 и 24 см. Площадь ромба можно найти через его диагонали:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
]
Подставляем значения:
[
S = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 , \text{см}^2
]
- Высота параллелепипеда:
Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол (45^\circ). Это означает, что одна из боковых граней является прямоугольным треугольником с углом (45^\circ).
Пусть (h) — высота параллелепипеда. Тогда по тригонометрическим соотношениям (например, тангенс угла) в этом треугольнике:
[
\tan 45^\circ = 1 = \frac{h}{\text{меньшая диагональ основания}}
]
Поскольку диагональ основания (меньшая) равна (10 , \text{см}) (по условию), мы получаем (h = 10 , \text{см}).
- Площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности параллелепипеда складывается из четырех прямоугольников. Длины сторон этих прямоугольников равны периметру основания и высоте:
Сначала найдем стороны ромба используя диагонали:
По формуле для сторон ромба через диагонали:
[
a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
]
[
a = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 , \text{см}
]
Периметр ромба (P = 4a = 4 \cdot 13 = 52 , \text{см}).
Следовательно, площадь боковой поверхности:
[
S_{\text{бок}} = P \cdot h = 52 \cdot 10 = 520 , \text{см}^2
]
- Полная площадь поверхности параллелепипеда:
Полная площадь поверхности — это сумма площадей двух оснований и боковой поверхности:
[
S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
]
Подставляем значения:
[
S_{\text{полная}} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760 , \text{см}^2
]
Таким образом, полная площадь поверхности параллелепипеда составляет (760 , \text{см}^2).
